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Logistic人口阻滞增长模型
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)。则它应是减函数。于是有：
dxdt?r(x)x,x(0)?x0 （1）
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即 r(x)?r?sx(r?0,s?0) （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，当x?xm时人口不再增长，即增长率r(xm)?0，代入（2）式得s?rxm，于是（2）式为
xxm r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：
) （3）
x?dx?rx(1?)? ?dtxm?x(0)?x0? （4）
解方程（4）可得：
x(t)?1?(xmxmx0?1)e?rt （5）
二、模型的建立
我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1
表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1990 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1995 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1996 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1982 1983 1984 1985 101.654 103.008 104.357 105.851 1991 1992 1993 1
1988 1989 111.026 112.704 1997 1998 1994 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756 1、将1954年看成初始时刻即t?0，则1955为t?1，以次类推，以2005年为t?51作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程得到相关的参数xm? 180.9871,r?-0.0336，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
5R2?(y?1?i?15i?1i?i)2?y?0.9959
i?(y?y)2由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
x(t)?1?(180.9871180.9871?1)e?0.0.0336t （6）
60.2根据曲线（6）我们可以对2010年（t?56）、2020年（t?66）、及2033年（t?79）
进行预测得（单位：千万）：
结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
程序：
x(56)?138.6161,x(66)?148.5400,x(79)?158.6028结果：
2
2、 将1963年看成初始时刻即t?0，以2005年为t?32作为终时刻。运用Matlab编程得到相关的参数xm? 151.4513,r? 0.0484，可以算出可决系数R2?0.9994得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线： x(t)?1?(151.4513151.4513?1)e?0.0484t （7）
69.1根据曲线（7）我们可以对2010年（t?47）、2020年（t?57）、及2033年（t?70）
进行预测得（单位：千万）：
结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
程序：
x(47)? 134.9190,x(57)?140.8168,x(70)? 145.59083
结果：
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab编程得到相关的参数xm? 153.5351,r? 0.0477，可以算出可决系数R2?0.9987得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线：
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