发布时间 : 星期三 文章考研数学例题更新完毕开始阅读
定理1（拉格朗日型余项）
设f(x)在含有x0的区间(a,b)内n?1阶可导,则对任一x?(a,b),有
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f(n?1)(?)(n?1)!f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x) 其中 Rn(x)?(x?x0)n?1,?在x0与x之间.
定理2（佩亚诺型余项） 设f(x)在x0点n阶可导,则
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x) 其中 Rn(x)??(x?x0)n, (x?x0)。 二、导数的应用 1洛必达法则： 若 1）
x?x0limf(x)?limF(x)?0;(?)
x?x02） f(x)、F(x)在x0点的某去心邻域内可导，且F?(x)?0; 3) limf?(x)?A（或?）； F?(x)?limf?(x). F?(x)x?x0则 limf(x)F(x)x?x0x?x0 注：洛必达法则可用来求七种类型不定式的极限，即
00，
??，0??，???，1?，?0，00.
2 函数的单调性
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。
1）若在(a,b)内f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上单调增； 2）若在(a,b)内f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上单调减； 3 函数的极值与最值
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1）极值：
（1） 极值的必要条件：设f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
f?(x0)?0;
（2） 极值的充分条件： a)（第一充分条件）
设f?(x0)?0（或f(x)在x0处连续），且f(x)在x0的某去心邻域U(x0,?) 内可导
（1）若x?(x0??,x0)时，f?(x)?0，而x?(x0,x0??)时，f?(x)?0，则
， f(x) 在x0处取得极大值；
（2）若x?(x0??,x0)时，f?(x)?0，而x?(x0,x0??)时，f?(x)?0，则
， f(x) 在x0处取得极小值；
（3）若x?U(x0,?)时，f?(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； b) （第二充分条件）
若f?(x0)?0，f??(x0)?0,则f(x)在x0处取得极值。其中当f??(x0)?0时极小，当f??(x0)?0时极大。
2）最值：（1）求连续函数f(x)在[a,b]上的最值； （2）应用题。 4 曲线的凹向与拐点 1）凹向：
（1）定义：凹 f( 凸 f(x1?x22x1?x22)?)?f(x1)?f(x2)2f(x1)?f(x2)2??
（2）判定：若在区间I上f??(x)?0(?0)，则曲线y?f(x)在I上是凹（凸）
的。
2）拐点：
（1）定义：连续曲线上两侧凹向发生变化的点；
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（2）判定：（一个必要两个充分） 5 曲线的渐近线 1）水平渐近线
若limf(x)?A(或limf(x)?A，或limf(x)?A）那么y?A是曲线
x??x???x???y?f(x)水平渐近线.
2）垂直渐近线
若limf(x)??(或limf(x)??，或limf(x)??）,那么x?x0是曲线
x?x0?x?x0?x?x0y?f(x)的垂直渐近线.
3）斜渐近线 若limf(x)xx???a 且 lim?f(x)?ax??b（或x???,或x???)，那么
x??y?ax?b是曲线y?f(x)的斜渐近线.
8 曲率与曲率半径:（数三不要求）
曲率??|y??|(1?y?2)213（直角）；??
|y??x??y?x??|（参数）.
(x?2?y?2)3/2曲率半径 R?常考题型
1. 洛必达法则求极限；
? 2. 求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点； 3. 求渐近线； 4. 方程的根； 5. 不等式的证明； 6. 中值定理证明题 【例1】 lim(1?x2)tanx?1?24x. ()
?【例2】 lim(x?0sinxx1)1?cosx. (e3)
?1 15
【例3】 f(x)二阶可导 f(0)?0, f?(0)?1, f??(0)?2
求 limf(x)?xx2x?0
f(x)?2，则
x?01?cosx【例4】 已知f(x)在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0,lim在点
x?0 处f(x)
（A）不可导. （B）可导，且f?(0)?0. （C）取得极大值. （D）取得极小值.
【例5】在半径为R的球中内接一直圆锥,试求圆锥的最大体积. (【例6】曲线y?1?ln(1?ex)渐近线的条数为 xln(1?x)x?. lnx1?x3281?R3)
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] 【例7】 利用导数证明：当x?1,时【例8】 求证：方程x?p?qcosx?0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0?q?1. 【例9】设a1?a2???an?0,求证：方程nanxn?1?(n?1)an?1xn?2??2a2x?a1?0在
(0,1)内至少有一个实根.
【例10】 设f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)上二阶可导，且
f(a)?f(b)?f(c)(a?c?b),证明存在??(a,b)，使f??(?)＝0.
【例11】设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)?f(b)?0,且存在c?(a,b)使f(c)?0.试证：??,??(a,b),f?(?)?0,f??(?)?0.
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