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第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答
4-1 图示曲线规尺的杆长OA?AB?200mm，CD?DE?AC?AE?50mm。杆OA绕O轴转动的规律为???5trad，并且当运动开始时，角
??0，求尺上D点的运动方程和轨迹。
解： 已知??0.2?t，故点D的运动方程为 xD?200cos0.2?t mm yD?100sin0.2?t mm
消去时间t得到点D的轨迹方程为
22xDyD??1（椭圆）
20021002题 4-1图
4-2 图示AB杆长l，以???t的规律绕B点转动，而与杆连接的滑块B以s?a?bsin?t的规?为常量。
律沿水平线作谐振动，a、b为常量。求A点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系Oxy, 则A点位置坐标为x?s?lsin? ，y??lcos?，即
x?a??b?l?sin?t y??lco?st. 消去时间t得A点轨迹方程为：
(x?a)y2?2?1.（椭圆） 2(b?l)l
4-3 套筒A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升，滑
轮中心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速v0拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A的速度和加速度与距离x的关系式。 解：设t?0时，绳上C点位于B处，在瞬时t,到达图示位置 则 AB?BC?2题4-2图
x2?l2?v0t?常量，将上式求导，得到管套
A的速度和加速度为
22dx?v0dvAv0l22?x?l， aA???3， vA?dtxdtx负号表示vA,aA的实际方向与x轴相反。
题4-3图
4-4 如图所示，半径为R的圆形凸轮可绕O轴转动，带动顶杆BC作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A点，偏心距OA?e，???t，其中?为常量。试求顶杆上B点的运动方程、速度和加速度。
解：以O点为原点建立坐标系，由余弦定理可得
AB2?OA2?OB2?2OA?OB?cos?t
其中OA=e ，AB=R ，设OB?yB代入上式
1
可以得到 yB?2eyBcos?t?e2?R2?0， 解出
22ecos?t?(2ecos?t)2?4(e2?R2) yB?
2222?ecos?t?R?esin?t dyesin2?t vB?B??e?(sin?t?)
222dt2R?esin?t
dvBecos2?te2sin2?taB???e?(cos?t??). 3222dtR?esin?4(R2?e2sin2?t)2
速度和加速度。 解：由右图所示
题4-4图
4-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M，其余条件不变。试求物块上B点的运动方程、
yB?R?ecos?t，
vB?dyB??e?sin?t， dt aB?dvB?e?2cos?t. dt
题4-5图
4-6 图示a、b、c三种机构，已知机构尺寸h和杆OA与铅直线的夹角???t，其中?为常量，分析并比较它们的运动：
1）穿过小环M的杆OA绕O轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。
2）绕O轴转动的杆OA，推动物块M沿水平面滑动，求物块M上一点的速度和加速度。 3）杆OA绕O轴转动时，通过套在杆上的套筒M带动杆MN沿水平轨道运动，求MN上一点的速度和加速度。
a) b) c)
题 4-6图
解：经分析图a)、b) 、c) 中M点速度和加速度相同。以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。对图在a)、 b) 、c) 中M点都有
h?2h?2sin?t????a?x?x?h?tg??h?tg?t， v?x， . 23cos?tcos?t 2
4-7 图示滑道连杆机构。已知BO?0.1m；OA?0.1m，滑道连杆BC绕轴B按??10t的规律转动（?以rad计）。试求滑块A的速度和加速度。
解： 如右图所示。以B为极点和BO为极轴建立极坐标系，则A点的运动方程为 A点的速度为
??2?OA?cos?10t? ， ??10t.
题4-7图
v??d?d???20?OA?sin?10t?，v????20?OA?cos?10t?， dtdt22v??v??20OA2?2ms.
v? A点的加速度为
d2?d?a??2??()2??400?OA?cos?10t?，
dtdt a?? a?1d2d?(?)??4?OA?sin?10t?. ?dtdt22a??a??40ms.
也可以用直角坐标法求解，并求出A点地切向和法向加速度。
4-8 如图所示，一直杆以???0t绕其固定端O转动，其中?0为常量。沿此杆有一滑块以匀速v0滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。 解： 以O为极点，水平方向为极轴，点M的运动方程为
??v0t， ???0t
消去时间t，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为
??v0?0?.
题4-8图
4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为
x?2sin?3t?m?
y?4?4sin?3t?m?，
设t?0时，s?0；坐标s的起点和t?0时点的位置一致，s的正方向相当于x增大的方向。试求轨迹的直角坐标方程y?f (x)、点沿轨迹运动的方程s?g (t)、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。
解：由运动方程消去t，得轨迹方程：
y?2x?4，（?2?x?2）
3
t?0时，由 ds?dx2?dy2??3?20?cos?t3dt，积分得点的运动方程
sint； s?4.4723t 点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：
???4.683cos v?s?3????4.904sint ?ms2?. ?ms?， at?v34-10 点沿平面曲线轨迹y?ex向x、y增大的方向运动，其中x、y的单位皆为m，速度
大小为常量v?12m/s。求动点经过y?1m处时，其速度和加速度在坐标轴上的投影。 解：点的切向加速度和法向加速度为
dvv2at??0， an?；
dt?dyd2y(1?y?)xx?????e， ?y?e式中 ??， y 2??dxydx??1 ??1，?当y?1时， x?0，yy有
322
??22， ??arctany?45，an?2v?62ms 2'ov2??362ms
? 当y?1m时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为： vx?vy? ax??22an??36ms2，ay?an?36ms2 224-11 如图所示，曲柄CB以等角速度0绕C轴转动，其
转动方程为???0t。通过滑块B带动摇杆OA转动。设OC?h，
?CB?r。求摇杆转动方程。
解：由题图所示：
rsin???h?rcos??tan?
由此解出杆的转动方程为
题4-11图
rsin?0t ??arctan
h?rco?s0t4-12 已知图示机构的尺寸如下：O1A?O2B?AM?r?0.2m；O1O2?AB。如轮O1按??15πt（?单位为rad）的规律转动，求当t?0.5s时，杆AB上的点M的速度和加速度。
解： 点M与点A有相同的速度和加速度， 即
vA?vM??r?15??0.2?9.42ms
aA?aM??2r?(15?)2?0.2?444.15ms2
4-13 机构如图所示，假设AB杆以匀速u运动，开始时??0。试求当??
题4-12图
?4时，摇杆OC的角速度
4
题4-13图