发布时间 : 星期日 文章北师大版高中一年级数学必修1全套复习资料(识点总结)更新完毕开始阅读
必有一个周期为2A。
证明：f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x) ∴函数y?f(x)的一个周期为2A。
3、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?A)?一个周期为2A。
4、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x)??1f(x)1，则函数y?f(x)的f(x)，则函数y?f(x)的一
个周期为2A。
三、对称性和周期性之间的联系 1、函数y?f(x)有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
已知：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)（a≠b），求证：函数y?f(x)是周期函数。
证明：∵f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x) f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x) ∴f(2a?x)?f(2b?x) ∴f(x)?f(2b?2a?x)
∴函数y?f(x)是周期函数，且2b?2a是一个周期。
2、函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c（a≠b）时，函数y?f(x)是周期函数。
（函数y?f(x)图象有两个对称中心（a，c）、（b，c）时，函数y?f(x)22是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。） 证明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c f(b?x)?f(b?x)?c?f(x)?f(2b?x)?c 得f(2a?x)?f(2b?x) 得f(x)?f(2b?2a?x)
∴函数y?f(x)是以2b－2a为周期的函数。
3、函数y?f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x?b）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b?a)。 证明：略。 四、知识运用
2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。 1、（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且
f(2)?0，则方程f(x)?0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：f(x)是R上的奇函数，则f(0)?0，由f(x?3)?f(x)得f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0
f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0 ∴f(4)?0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)?0 这是答案中的五个解。
但是 f(?1?5)?f(?1?5?3)?f(1?5)又 f(?1?5)??f(1?5) 知 f(1?5)?0而
可知：在（0，0?f(1?5)?f(1?5?3)?f(4?5) 知 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，
6）内的解的个数的最小值为7。 2、（2005·广东 19）设函数f(x)在（??，??）上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0。 ⑴试判断函数y?f(x)的奇偶性；
⑵试求方程f(x)?0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解：⑴由f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)得函数y?f(x)的对称轴为x?2，x?7。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。 因为函数y?f(x)在[0，7]上只有f(1)?f(3)?0 可知 f(0)?0，f(7)?0
又 f(3)?0,且f(3)?f(3?10)?f(?7) ∴f(?7)?0
而 f(7)?0且?f(7)?0，则f(?7)?f(7)，f(?7)??f(7) 因此，函数y?f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。 ⑵由f(3)?f(1)?0，可得f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0
故函数y?f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足f(x)?0；从而可知函数y?f(x)在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数y?f(x)在[－2005，2005]上共有802个解。 第八讲 函数问题中的4种错
函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：
一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错 例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248
元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）（1）、写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域. （2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
错解：（1）污水处理池的长为x米，则宽为
y?400(2x?2?200200)?248??2?80?200 xx200米，总造价 x324)?16000(0?x?16) x324（2）y?800(x?)?16000?800?2324?16000?44800，当且仅当
x324，即x?324?18 x?x?最低造价为44800元.
=800(x?错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域0?x?16是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：12.5?x?16.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为x?18，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.
正解：（1）y?800(x??12.5,16?
324200)?16000,Q?16,?x?12.5，则定义域为xx（2）长和宽分别为16米，12.5米时，总造价最低且为45000元.
二、由于对实际问题理解不全面而致错
例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l（单位：m），且当车速为50(km/小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？
车速?? 车流量=??车距+车身长??错解：d?kv2l，将v?50,d?l代入得k?d?112vl，又将，?d?25002500112l代入得v?252，由题意得d?vl(v?252)， 225001000v1000100025000(v?252)Q??，
1vv2l1vl(?)l?2?l(1?)v25002500v250025000 ?当且仅当v?50时,Qmax?l综上所知：v?50(km/h)时,车流量Q取取最大值.
将Q?1000v?d?l错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于252?km/h?，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.
?1l (v?252)??2正解：依题意，得d??，
1?v2l (v?252)??2500?1000v?3l(v?252)?1000v?2??则Q?，显然，当v?252时，Q是v的
1000vd?l?(v?252)?v2l(1?)?2500?1000v500002?增函数，?v?252时，Qmax?， 33ll21000100025000Q??当v?252时，，当且仅当v?50时，
1vll(?)l?21?vv2500v250025000，综上所述，当v?50(km/h)时车流量Q取到最大值. Qmax?l三、结果与事实不符而致错 例3、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。
（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式； （2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
错解：1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
（2）当x?20?60?1200分钟，x?500，应付y?0.15?1200?180元，