发布时间 : 星期一 文章福建历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数更新完毕开始阅读
25、14．（4分）（2015福建）若函数f（x）=[4，+∞），则实数a的取值范围是 ． 解答题
1、19．（12分）（2008福建）已知函数
（a＞0且a≠1）的值域是
．
2
*
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3．若点（an，an+1﹣2an+1）（n∈N）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，Sn）也在y=f′（x）的图象上； （Ⅱ）求函数f（x）在区间（a﹣1，a）内的极值． 2、22．（14分）（2008福建）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x （1）求f（x）的单调区间；
*
（2）记f（x）在区间[0，n]（n∈N）上的最小值为bn令an=ln（1+n）﹣bn （i）如果对一切n，不等式
恒成立，求实数c的取值范围；
（ii）求证：．
3、20．（14分）（2009福建）已知函数f（x）=x+ax+bx，且f′（﹣1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=﹣1，设函数f（x）在x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点M （x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1＜m＜x2，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题： （Ⅰ）若对任意的t∈（x1，x2），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论； （Ⅱ）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）． 4、19．（13分）（2010福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
3
5、20．（14分）（2010福建）已知函数f（x）=x﹣x，其图象记为曲线C． （1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则
为定值．
32
5
6、18．（13分）（2011福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=
+10（x﹣6），其中3＜x
2
＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
x2
7、20．（14分）（2012福建）已知函数f（x）=e+ax﹣ex，a∈R． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P． 8、17．（13分）（2013福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R） （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．
x
9、20．（14分）（2014福建）已知函数f（x）=e﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1． （1）求a的值及函数f（x）的极值；
2x
（2）证明：当x＞0时，x＜e；
2x
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce． 10、20．（7分）（2015福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R） （1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）； （3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）
2
|＜x．
6
答案
1、解：∵由f（a）=2
33
∴f（a）=a+sina+1=2，a+sina=1，
33
则f（﹣a）=（﹣a）+sin（﹣a）+1=﹣（a+sina）+1=﹣1+1=0． 故选B
2、解：y=﹣f'（x）=sinx，而f（x）=cosx（x∈R）的图象按向量（m，0）平移后得到y=cos（x﹣m），所以cos（x﹣m）=sinx，故m可以为
．
故选A．
3、解：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，
再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f（x）的导函数的值在减小，
所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC， 故选D．
4、解：∵（x+sinx）′=1+cosx， ∴
（1+cosx）dx=（x+sinx）
=+sin﹣=π+2．
故选D
5、解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）， ∴函数在（0，+∞）上是减函数；
A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；
2
B、由于f（x）=（x﹣1），由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数， 在（1，+∞）上是增函数，故B不对；
C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对； D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对； 故选A．
6、解：∵f（x）=ax+bx+c的对称轴为直线x=
22
令设方程m[f（x）]+nf（x）+p=0的解为f1（x），f2（x）
22
则必有f1（x）=y1=ax+bx+c，f2（x）=y2=ax+bx+c 那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线 它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y1=ax+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=也就是说x1+x2=
2
2
对称
对称
同理方程y2=ax+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=那就得到x3+x4=
，
7
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解 所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4} 而在D中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致， 也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和 故答案D不可能 故选D．
7、解：由题意该函数的定义域x＞0，由因为存在垂直于y轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数再将之转化为g（x）=﹣2ax与
存在零点．
．
存在交点．当a=0不符合题意，
当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点， 当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0． 故答案为：{a|a＜0}
2
8、解：当x≤0时，令x+2x﹣3=0解得x=﹣3；
当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点， 故选：B．
9、解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．
2
对于①f（x）=x，g（x）=，当x＞1时便不符合，所以①不存在； 对于②f（x）=10+2，g（x）=
﹣x
肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）﹣g（x）→0；
对于③f（x）=，g（x）=，，
设λ（x）=x﹣lnx，＞0，且lnx＜x，
所以当x→∞时x﹣lnx越来愈大，从而f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0， 所以不存在分渐近线； 对于④f（x）=
，（x）g=2（x﹣1﹣e），当x→+∞时，
﹣x
，
因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C 故选C
mm﹣1m﹣1m﹣1
10、解：①f（2）=f（2?2）=2f（2）=…=2f（2），正确； ②取x∈（2，2），则
m
m+1
∈（1，2]；f（）=2﹣，从而
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