发布时间 : 星期一 文章高中数学解题思想方法全部内容更新完毕开始阅读
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5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质am?pam?p＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3－11。 Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 23 B. 14 C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则
?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求对角线长??4(x?y?z)?24可得。
x2?y2?z2，将其配凑成两已知式的组合形式
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：??2(xy?yz?xz)?11。
4(x?y?z)?24?长方体所求对角线长为：
x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝
62?11＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
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例2. 设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(值范围。
p2q2)+()≤7成立，求实数k的取qp【解】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
[(p?q)2?2pq]2?2p2q2p2q2p4?q4(p2?q2)2?2p2q2()+()＝＝＝＝
(pq)2(pq)2qp(pq)2(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－10或k≥10 。
4又 ∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22 综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22 或者 22≤k≤10。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求(
22ba19981998)＋() 。 a?ba?ba2aa【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方
bbb虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a＋ab＋b=0变形得：(
222a2a)＋()＋1＝0 ， bb设ω＝
2a1b233，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝?＝1。 b?a22又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，
ba2999b2999aa999b99919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω
ababa?bbaa?b999＋
?999＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
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【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(
a2ab?1?3i)＋()＋1＝0 ，解出＝后，化
2bba成三角形式，代入所求表达式的变形式(
a999b)＋()999后，完成后面的运算。此方法用于ba只是未
?1?3i联想到ω时进行解题。 2?1?3ib，2假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝
直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)2＋(x－b)2 （a、b为常数）的最小值为_____。
222A. 8 B. (a?b) C. a?b D.最小值不存在
222. α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。
A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R?，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2x＋8y有_____。
A.最大值22 B.最大值2 C.最小值22 B.最小值2
224. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6 5. 化简：21?sin8＋2?2cos8的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设F1和F2为双曲线x－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，
222224则△F1PF2的面积是_________。
27. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋1的最小值为___________。
x?18. 已知?〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，求sin2α的值。(92
24135年高考题)
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9. 设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C，给定m、（m ① 解不等式f(x)>0； ② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s), ① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域； ② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 8