发布时间 : 星期三 文章【100所名校】河南省南阳市方城一中等五校2019-2020学年高二上学期12月联考数学(文科)试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读
【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x， 所以=2．
所以故c=
a，
=2．
从而双曲线E的离心率e==．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a， 所以|OC|?|AB|=8，
因此a?4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2； 则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2）， 由
得y1=
，同理得y2=
，
﹣=1也满足条件．
由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|得： |﹣|?|
﹣
|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．
由
得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，
因为4﹣k2＜0，
所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16）， 又因为m2=4（k2﹣4），
所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为
﹣
=1．