发布时间 : 星期日 文章【100所名校】河南省南阳市方城一中等五校2019-2020学年高二上学期12月联考数学(文科)试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读
【分析】(1)a=1时,得出命题p:x>2,或x<0,命题q:﹣2<x<3,而由p∧q为真得到p,q都为真,从而解不等式组
即得实数x的取值范围;
(2)先求出命题¬p:x<1﹣a,或x>1+a,a>0,从而由¬p是q的必要不充分条件得到,
解该不等式组即得实数a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=1时,p:x>2或x<0,q:﹣2<x<3; 又p∧q真,∴p,q都为真; ∴由
得﹣2<x<0或2<x<3;
∴实数x取值范围为(﹣2,0)∪(2,3);
(2)p:|x﹣1|>a,∴x<1﹣a或x>1+a,a>0,¬p:1﹣a≤x≤1+a,a>0; ∵¬p是q的必要不充分条件;
∴;
∴a≥3;
∴实数a的取值范围为[3,+∞).
19.已知a∈R,命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“?x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”. (1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围. 【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用. 【分析】(1)由于命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可;
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a的取值范围.由于命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,可知:命题p与命题q必然一真一假,解出即可. 【解答】解:(1)∵命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a, 根据题意,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可, 也就是1﹣a≥0,解得a≤1,
∴实数a的取值范围是(﹣∞,1];
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,
命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1. ∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题, ∴命题p与命题q必然一真一假, 当命题p为真,命题q为假时,
,
当命题p为假,命题q为真时,,
综上:a>1或﹣2<a<1.
20.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3, (1)求m的值;
(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P的坐标. 【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】(1)将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值,从而解决问题. (2)设P(a,0),先求点P(a,0)到AB:2x﹣y﹣4=0距离,再根据三角形的面积公式,求出a 值,可求P得坐标. 【解答】解:(1)由
,
∴4x2+4(m﹣1)x+m2=0,
由△>0有 16(m﹣1)2﹣16m2>0, 解得 m<;
设A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=1﹣m,x1x2=∵|AB|=
=
,
=
?
=3
,
解得 m=﹣4.
(2)设点P(a,0),P到直线AB的距离为d, 则d=
=
, ×
=3|a﹣2|,
又S△ABP=|AB|?d=9=×3
∴|a﹣2|=3,
解得a=5或a=﹣1,
故点P的坐标为(5,0)或(﹣1,0)
21.设F1,F2分别是C:与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 【考点】椭圆的应用.
【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;
+
=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1
(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论. 【解答】解:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直, ∴M的横坐标为c,当x=c时,y=若直线MN的斜率为,
,即M(c,
),
即tan∠MF1F2=即b2=即c2+则
即2e2+3e﹣2=0
=a2﹣c2, ﹣a2=0,
,
,
解得e=或e=﹣2(舍去), 即e=.
(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点, 设M(c,y),(y>0), 则
,即
,解得y=
,
∵OD是△MF1F2的中位线, ∴
=4,即b2=4a,
由|MN|=5|F1N|, 则|MF1|=4|F1N|, 解得|DF1|=2|F1N|, 即
设N(x1,y1),由题意知y1<0, 则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).
即,即
代入椭圆方程得,
将b2=4a代入得解得a=7,b=
.
,
22.已知双曲线E:
﹣
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且△OAB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程,若不存在,说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】(1)依题意,可知=2,易知c=
a,从而可求双曲线E的离心率;
(2)由(1)知,双曲线E的方程为﹣=1,设直线l与x轴相交于点C,分l⊥x轴与直线l不与x
轴垂直讨论,当l⊥x轴时,易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方
程为y=kx+m,与双曲线E的方程联立,利用由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|=8可证得:双曲线E的方程为=1,从而可得答案.
﹣