发布时间 : 星期四 文章(课标通用)2018年高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理更新完毕开始阅读
＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比为( )
A．2 C．4 [答案] B
[解析] 由a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3可得a6－a5＝2a5，即＝3，故选B. 角度二 求通项或特定项
[典题3] [2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2
成等差数列，则an＝________.
[答案] 2
[解析] 设数列{an}的公比为q， ∵2a1，a3,3a2成等差数列， ∴2a1＋3a2＝2a3，
即2a1＋3a1q＝2a1q，即2q－3q－2＝0， 1解得q＝2或q＝－.
2∵q>0，∴q＝2. ∵a1＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝a1q角度三 求前n项和
[典题4] (1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( )
A.C.
33
1231
4
B．31 D．以上都不正确
n－1
2
2
B．3 D．5
a6a5
n＝2.
n[答案] B
[解析] 设{an}的公比为q，q＞0. 由已知，得a4＋3a3＝2×5a2，
即a2q＋3a2q＝10a2，即q＋3q－10＝0， 解得q＝2或q＝－5(舍去)， 又a2＝2，则a1＝1，
2
2
- 5 -
所以S5＝
a1
－q1－q5
＝－21－2
5
＝31.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________. [答案] 28
[解析] 由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q，a6＝a1q，所以27a1q＝a1q，所以q＝3，由Sn＝＝
2
5
2
5
S6S3
a1
－q1－qn，得S6＝a1
－31－3
6
，S3＝
a1
－31－3
3
，所以
S6S3
a1
－31－3
6
·1－3
＝28.
a1－33
[点石成金] 解决与等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝
a1
－q1－qn＝a1－anq. 1－q考点3 等比数列的性质
等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N)，则am·an＝________＝________.
?1??an?2??，??(λ≠0)(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{an}，{an·bn}，
?an?
?bn?
*
*
仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为q.
答案：(1)qn－mk (2)ap·aq ak
2
等比数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．
1
(1)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________.
2
- 6 -
答案：2
133
解析：由a4＝a1q，得4＝q，解得q＝2.
2
S817
(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
S416
1答案： 2
1－q1717144
解析：易知公比q不为1，由等比数列求和公式得，即1＋q＝，所以q＝，4＝
1－q16161611
得q＝或q＝－(舍去).
22
8
应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：公比应分q＝1与q≠1讨论；注意利用性质．
(1)设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则此数列的公比q＝________. 1答案：1或－
2
解析： 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意；当q≠1时，∵a1≠0，所以1－q＝3q(1－q)， ∴2q－3q＋1＝0， 即(q－1)(2q＋1)＝0， 1
解得q＝－. 2
1
综上所述，q＝1或q＝－. 2
(2)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15
＝________.
答案：11
－2
解析：由题意知a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝＝－2，
1首项为a1＋a2＋a3＝1，因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和，故S15＝1×[1－－1－－
52
3
2
3
2
a1
－q1－q3
＝3a1q，
2
]
＝11.
- 7 -
[典题5] (1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则
a7(a1＋2a3)＋a3a9＝( )
A．10 C．100 [答案] C
[解析] a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a4＋2a4a6＋a6＝(a4＋a6)＝10＝100. (2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1
＝324，则n＝________.
[答案] 14
[解析] 设数列{an}的公比为q，
由a1a2a3＝4＝a1q与a4a5a6＝12＝a1q，可得
3n－3
q9＝3，又an－1anan＋1＝a3＝324， 1q33
312
2
2
2
2
B．20 D．200
因此q3n－6
＝81＝3＝q，所以3n－6＝36，即n＝14.
436
[点石成金] 等比数列常见性质的应用
等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( ) A．2 C.
3
10
7B. 3D．1或2
S4S2S6S4
答案：B
解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴
S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，
S67k7∴＝＝. S43k3
2．[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝1 10
b10b11＝2 015 ，则a21＝________.
- 8 -
an＋1
，若an