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7-8-3.几何计数（三）
教学目标
1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．
知识要点
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成
1n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成2?2?3?……?n?(n2?n?2)个部分；
23n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．
ADBEC
数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．
例题精讲
模块一、立体几何计数
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【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 一共有：43??1?4?9??50（块）。
【关键词】迎春杯，中年级，初试，6题，走美杯，4年级，决赛，第8题
【答案】50块
【例 2】 将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中
有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 个。 【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第7题
32?25，所以这个长方体的尺寸只有1?1?32，1?2?16，1?4?8，2?2?8，2?4?4五种情况，【解析】
其中只有尺寸为2?2?8的长方体的表面染色后，有24个正方体有2个面涂红，所以有1个面涂红的小正方体有0个。
【答案】0
【例 3】 如图是一个由27个棱长为1的白色小正方体木块粘成的棱长为3的正方体木块，现任意挖去其中
的3个棱长为1的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的24个棱长为1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有____个.
【考点】立体图形几何计数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第12题
【解析】 1）角块本身为3面暴露在外的小方块；
2）挖去外侧面中部的小方块，能够增加4块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案
3）因此挖去对称的2块外侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块
4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加 3块3面暴露在外的小方块，但同时破坏原来的2块3面在外的小方块. 5）所以最多有17块3面涂漆的小方块
【答案】17
模块二、几何计数的应用
【例 4】 如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。则在此图中最多可以画出__________个面积是2平方
厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空
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【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:3×3=9(个) 【答案】9
【巩固】 图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有 个。
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第8题
【解析】 4×4+3×5=31 【答案】31个 【巩固】 下图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有 个。
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题
【解析】 每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:3?4?2?24(个)
【答案】24个
【例 5】 如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角
三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第2题
【解析】 我们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形
的个数就得到所求的总数：4×2×2×4＝64 （个）
【答案】64
【例 6】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来
就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【解析】 面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个．
(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：
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底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)
①②③
底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个) 所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)． (2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：
④⑤⑥
3×2=6(个) 1×2=2(个)
所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．
【例 7】 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其
中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 1．显然应先求出阴影三角形的面积
设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是
?×2×3=3
2．思考图中怎样的三角形的面积等于3
（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）． 这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；
（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3． 这时，长为3的边是原正方形的一边或平 行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．
【答案】48个
【巩固】 图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点
在图中交叉点上的三角形)____个。
【考点】几何计数的应用 【难度】3星 【题型】填空
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