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高中新课程导学学案·数学（必修1）·第一章·集合与函数
视野拓展
陶哲轩1975年7月15日出生于澳大利亚阿得雷德，是澳洲惟一荣获数学最高荣誉“菲尔茨奖”的澳籍华人数学教授，继1982年的丘成桐之后获此殊荣的第二位华人。
其于1996年获普林斯顿大学博士学位后任教于UCLA，24岁时便被UCLA聘为正教授。
1.3.1单调性与最大(小)值
(第二课时)
【课标定向】
学习目标
理解函数的单调性;会用单调性的定义证明函数的单调性. 提示与建议
证明函数f(x)在区间D上的单调性应遵循以下步骤:
(1)设任意的x1,x2?D且x1?x2; (2)比较f(x1)与f(x2)的大小关系;
(3)下结论(如果f(x1) 间D上是增函数;如果f(x1)>f(x2),则 f(x)在区间D上是减函数). 【互动探究】 自主探究 1.判断函数y?x?3在[1,2]上的单调性. 2.一般地设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1?x2时都有______,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1?x2时都有______,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 剖例探法 ★讲解点 判断或证明函数的单调性 1.函数单调性的定义,强调在定义域内的某个区间D上任意自变量x1,x2,其中x1,x2必 须具备任意性.如函数y?x2在[-1,1]内取 x1?0,x2?1,虽然有f(0)?f(1),但不能 说f(x)在区间[-1,1]上是增函数. 2.当 x1,x2构成的不等式与f(x1),f(x2)构成的不等式同向时,函数f(x)为增函数;反之,当x1,x2构成的不等式与f(x1),f(x2)构成的不等式反向时,函数f(x)为减函数. 3.当函数的单调性事先不知道时,可以借助于图象进行粗略分析,再利用单调性的定义进行证明. 例题1 判断函数f(x)?3x的单调性,并证明. 【思维切入】我们可以先作出f(x)?3x的图象,根据图象判断其单调性,然后利用定义进行证明. 【解析】作出f(x)?3x的图象,可以看出, 25 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步. ——马克思 函数f(x)?3x在(??,??)上是增函数. 证明如下： 任取x1,x2?(??,??),且x1?x2,则 f(x1)?f(x2)?3x1?3x2?3(x1?x2) 由x1?x2得3(x1?x2)<0 于是f(x1)?f(x2) 所以f(x)?3x在(??,??)上是增函数. 【规律技巧总结】通过观察函数图象,先对函数的单调性情况进行判断,然后利用单调性的定义进行证明,是解决函数问题经常用的方法. 例题2 利用函数单调性的定义证明 y?1x在(??,0)上是减函数. 【思维切入】为了方便,可以将函数写成 f(x)?1x.证明的关键是对f(x1)?f(x2)进行变形,变形的目的是为了判断 f(x1)?f(x2)的符号. 【证明】设x1?x2?0,则 f(x1)?f(x2)?1x?1?x2?x1, 1x2x1x2因为x1?x2?0,所以x1x2?0,x2?x1?0, 所以f(x1)?f(x2),y?1x在(??,0)上是减函数. 【规律技巧总结】 1.本题利用单调性进行证明的步骤可以归结为:取值—作差变形—定号—判断. 2.其中作差变形一步的目的是为了判断 f(x1)与f(x2)的大小关系.主要的变形手 段有通分、因式分解、配方、有理化等,具体用什么方式可以视题目的具体情况而定. 例题3 如果函数y=f(x)是区间(??,??)上的增函数,求证当k?0时,kf(x)在区间 (??,??)也是增函数. 【思维切入】本题中f(x)无具体的解析式 可用,故在证明中,需要紧扣定义. 【证明】 设x1?x2?0.由“函数y=f(x)是区间(??,??)上的增函数”可知 f(x1)?f(x2).所以 kf(x1)?kf(x2)?k[f(x1)?f(x2)]?0 所以kf(x1)?kf(x2). 当k?0时,kf(x)在区间(??,??)也是增函数. 精彩反思 1.当 x1,x2构成的不等式与f(x1),f(x2)构成的不等式同向时,函数f(x)为增函数; 反之,当x1,x2构成的不等式与 f(x1),f(x2)构成的不等式反向时,函数 f(x)为减函数. 2.利用定义判断函数单调性时须保证x1,x2是对应区间内的任意两个自变量的值. 【自我测评】 1.若x1,x2?(??,0), x1?x2,f(x)??2x,则f(x1),f(x2)的大小关系是( ) Af(x1)?f(x2) Bf(x1)?f(x2) Cf(x1)?f(x2) Df(x1)?f(x2)?0 26 高中新课程导学学案·数学（必修1）·第一章·集合与函数 2.若函数f(x)?kx在(??,0)上是减函数,则k的取值范围是( ) Ak?0 Bk?0 Ck?0 Dk?0 3.若函数y=(2k+1)x+6在(-?，+?)上是减函数，则 ( ) A k> 12 B k<12 C k>-112 D k <-2 4．函数y=-x2 +4x-7在区间(-1,3)上是 ( ) A 增函数 B 减函数 C 先是增函数后是减函数 D 先是减函数后是函数 5.函数f(x)?3x2?6x?1在(3,4)上的单调性是_________. 6.下列说法中正确的有_________. (1)定义在R上的函数f(x)满足 f(2?)f,(则1f(x)是R上的增函数. (2) 定义在R上的函数f(x)满足 f(2?)f(,则1f(x)不是R上的减函数. (3)定义在R上的函数f(x)在区间(??,0]上是增函数,则f(x)是R上的增函数. (4) 义在R上的函数f(x)在区间(??,0]上是增函数,在区间[0,??)上也是增函数,则f(x)是R上的增函数. 7.求证f(x)??x2在(??,0)上是增函数. 8.判断y?1x?1的单调性,并加以证明. 【拓展迁移】 思维提升 9.判断f(x)?x在(0,??)上的单调性,并 加以证明. 10.判断并证明f(x)?kx?3在[-1,1]上的单调性. 视野拓展 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数 27 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步. ——马克思 学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。 §1.3.1单调性与最大(最小)值 (第三课时) 【课标定向】 学习目标, 会求函数的最值;理解函数最值的几何意义. 提示与建议 函数在某个区间上的最大值就是图象上最高点的纵坐标,最小值为图象上最低点的纵坐标. 【互动探究】 自主探究 求下列函数的最大值和最小值: 1.y?x,x?[1,2]. 2.y?|x|,x?[?1,2]. 3.y??x2,x?(?1,1]. 剖例探法 ★讲解点一 函数的最大（小）值的概念 通俗的说，函数y?f(x)在区间I上的最大（小）值就是它在I上所取的函数值的最大（小）者. ★讲解点二 最值的求法 1.利用函数的图象. 函数在某个区间上的最大值就是图象上最高点的纵坐标,最小值为图象上最低点的纵坐标. 2.利用函数的单调性. 更多时候,需要综合图象和单调性,求函数的最值. 例题1 求出下列函数的最小值 (1)y?x2?2x; (2)y?1x,x?[1,3]. 【思维切入】(1)是二次函数可以通过配方,观察出其最值;(2)需要考虑函数的单调性. 【解析】 (1) y?x2?2x ?(x?1)2?1??1 当x??1时,y??1,所以ymin??1. (2)因为当x?[1,3]时,f(x)?1x是减函数,所以f(x)在[1,3]上的最小值为 f(3)?13. 【规律技巧总结】单调性是求函数最值的最可靠依据. 例题2 已知f(x)?x2?2x?3.求下列条件下的函数最值. (1)x?[6,??); (2)x?[?4,?2]; (3)x?[?1,4]. 【思维切入】先判断函数在对应区间上的单调性,在此基础上再确定最值. 【解析】 f(x)?x2?2x?3?(x?1)2?4 28