发布时间 : 星期日 文章2019届高考数学一轮复习第七章立体几何学案理更新完毕开始阅读
③球外接于正方体，此时2R＝3a.
(2)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即a＋b＋c＝2R.
(3)棱长为a的正四面体，斜高为径为
6a. 12
366
a，高为a，其外接球的半径为a，内切球的半234
2
2
2
(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；
②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．
(5)求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出．也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作．
(6)求一个几何体的外接球的半径，可以结合球心到各个顶点的距离相等列式得出．
(7)球与旋转体的组合通常作轴截面解题，球与多面体的组合通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题．此类问题在计算时，经常用到截面圆．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM＝OO′＋O′M，即R＝d＋r.
[冲关演练]
1．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为3. 3
设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，
2434π279π
所以这个球的体积为πR＝×＝. 33829π
答案： 2
2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于________．
33
2
2
2
2
2
2
解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝1
2××6×82
＝2.
6＋8＋10
答案：2
3．已知一个四面体的一条边长为6，其余边长均为2，则此四面体的外接球的半径为________．
解析：由题意画出几何体的图形如图所示，取BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC.
∵AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD.
又∵OA＝OD＝3，AD＝6， ∴OA＋OD＝AD，∴AO⊥DO，
∴该四面体的外接球的球心在AD的中点E与点O的连线上，设球心为G，球的半径为R， 即GA＝GB＝GC＝GD， 又G在线段OE上，
∴AG－AE＝EG，BG－BO＝GO，EO＝EG＋GO， ∴
62
＝R－1＋2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2S＝
a＋b＋cR2－?
15?6?2
?，解得R＝3， ?2?
15. 3
故此四面体的外接球的半径为
15 3
答案：
(一)普通高中适用作业
34
A级——基础小题练熟练快
1．(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．48＋π C．48＋2π
B．48－π D．48－2π
解析：选A 该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×1＋2π×1＝48＋π，故选A.
2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若28π
该几何体的体积是，则它的表面积是( )
3
2
2
A．17π C．20π
B．18π D．28π
解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球14143283
的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR－×πR＝π，解得43833
R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆
7
834
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的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 C．36斛
B．22斛 D．66斛
π16
解析：选B 设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V2π11π?16?23203202
＝×π×r×5＝×??×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)． 4312?π?99
4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
1A. 81C. 6
1 B.
71 D.
5
解析：选D 由三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三11115V13
棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝1－＝.所以＝
32666V21
61＝. 556
5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的体积为V2，则＝( )
V1V2
1A. 41C. 2
1 B.
31 D.
5
36