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传染病的传播及控制分析
摘要
为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建
立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文针对该问题建立了SEIR微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。前三者作为传染系统。我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。
本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。
在模型建立的基础上，通过Matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在p=0.4时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；在p=0.3时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；在p=0.6时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词：隔离强度 潜伏期 SEIR模型
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一、问题重述：
2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为a1?a2天，患病者的治愈时间为a3天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为r，因接触被感染的概率为?(?为感染率)。为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。潜伏期内的患者被隔离的强度为p（为潜伏期内患者被隔离的百分数）。
在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。
二、问题假设：
1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例； 2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例； 3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；
4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；
5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状，不可传染健康人，不具有传染性；
6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；
7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；
8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。即：总人口数不变，记为N；
三、符号说明：
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符号 S(t) E(t) Q(t) I(t) R(t) β1 β2 a3 r
解释说明
t时刻正常人（易受感染）人数 t时刻疑似患者的人数 t时刻处于潜伏期的人数 t时刻确诊患者的人数
t时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者） 潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期人数的比例
每日退出传染系统的人数比例 确诊患者的治愈时间 患者的人均日接触人数 因接触被感染的概率 潜伏期内的患者被隔离的强度
?
p
四、问题分析：
根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化，特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。
我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因题目中把人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的SIER模型，将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。再利用matlab编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。
五、模型的建立和求解：
5.1传染病模型的准备
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按一般的传播机理建立模型。
查阅相关资料可知，目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括I模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等[2]。
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I模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，结果发现，随着时间增加，病人人数会无限增长，这显然不符合实际；SI模型是I模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者，但是该模型没有考虑到病人可以治愈，导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者，这也是不符合实际的；在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下，SIR模型对SI模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离的情况。SEIR模型[3]-[4]对SIR模型进行了改进，增加了疑似患者，考虑到了隔离强度，故我们选择SEIR模型进行此次建模。
根据题目所给的条件，人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。根据SEIR模型重新归类，得到以下结果：
（1）健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。记其数量为S(t)，表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；
（2）确诊患者，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I(t)，表示t时刻已经确诊为患者入院的人数；
（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量为E(t)，表示t时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；
（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。 （5）恢复人群（Recovered），记其数量为R(t)，表示t时刻已从感染病者中移出的人数，包括死亡者和治愈者，这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。 该传染病的传播流程图如下：
图1 传染病传播流程图
5.2传染病模型的建立[5]
传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。对S来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为潜伏期感染者流出S；对于E来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；对于I来说，它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者，也有已经治愈的流出者；对于R来说，它只有从I中治愈转化而来的流入者。以上过程在传染的每一时刻都是相同的。为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：
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