发布时间 : 星期二 文章2.5等比数列的前n项和第2课时等比数列前n项和的性质及应用学案更新完毕开始阅读
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用8
学习目标:1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点).
[自 主 预 习·探 新 知]
1.等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时,等比数列的前n项和公式是Sn=+
a1
-q1-qn,它可以变形为Sn=-·q1-qa1
n,设A=,上式可写成Sn=-Aq+A.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn1-q1-qa1a1
n是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比
q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).
思考:在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数)且前n项和Sn=3么?
[提示] 由题{an}是等比数列, ∴3的系数与常数项互为相反数, 11n而3的系数为,∴k=-.
332.等比数列前n项和的性质
性质一:若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=Aq-A(Aq≠0,q≠±1),则数列{an}是等比数列.
性质二:若数列{an}是公比为q的等比数列,则 ①在等比数列中,若项数为2n(n∈N),则②Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
思考:在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,如何求S6的值? [提示] S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80,∴S6=S4+80=S2+40+80=140.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)等比数列{an}共2n项,其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比
*
n-1
+k,则实数k的取值是什
nnS偶
=q. S奇
q=2.( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3
n-1
-1,则a=1.( )
(3)若数列{an}为等比数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.( ) (4)若Sn为等比数列的前n项和,则S3,S6,S9成等比数列.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
- 1 -
提示:(1)
S偶12011
=q==;(2)由等比数列前n项和的特点知a=1得a=3;(4)由S3,S6-S奇24023
S3,S9-S6成等比数列知(4)错误.
2.已知数列{an}为等比数列,且前n项和S3=3,S6=27,则公比q=________. 2 [q=
3
S6-S327-3
==8,所以q=2.] S33
21
3.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________.
33
【导学号:91432227】
(-2)
n-1
21
[当n=1时,S1=a1+,所以a1=1.
33
1?21?2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-?an-1+?
3?33?32an=(an-an-1),所以an=-2an-1,即=-2, 3an-1所以{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2, 所以an=1×(-2)
n-1
,即an=(-2)
n-1
.]
4.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21,则c5=2c3-c1=2×21-7=35,即a5+b5=35.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
等比数列前n项和公式的函数特征应用
已知数列{an}的前n项和Sn=a-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列
{an}( )
【导学号:91432228】
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.是等差数列或等比数列 D.既非等差数列,也非等比数列 B [当n≥2时,
nan=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1;
当n=1时,a1=a-1,满足上式. ∴an=(a-1)·a∴
n-1
,n∈N.
*
an+1
=a, an- 2 -
∴数列{an}是等比数列.] [规律方法] (1)??S1,n=1,已知Sn通过an=??Sn-Sn-1,n≥2?n 求通项an,应特别注意n≥2时,an=Sn-Sn-1. (2)若数列{an}的前n项和Sn=Aq-1,其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列. [跟踪训练] 1.若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=31
- [显然q≠1, 3此时应有Sn=A(q-1), 1n又Sn=·3+t,
31
∴t=-.]
3
等比数列前n项和性质的应用
[探究问题]
1.在等差数列中,我们知道Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍组成等差数列.在等比数列{an}中,若连续m项的和不等于0,那么Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍组成等比数列吗?为什么?
提示:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍组成等比数列. ∵在等比数列{an}中有am+n=amq, ∴Sm=a1+a2+…+am,
nnn-1
+t,则t=________.
S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m=a1qm+a2qm+…+amqm=(a1+a2+…+am)qm=Sm·qm.
同理S3m-S2m=Sm·q,…,
在Sm≠0时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍组成等比数列.
2.若数列{an}为项数为偶数的等比数列,且S奇=a1+a3+a5+…,S偶=a2+a4+a6+…,那么
2mS偶
等于何值? S奇
提示:由等比数列的通项公式可知
S偶S奇·q==q. S奇S奇
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7,S6=91,则S4为( ) A.28 B.32 C.21 D.28或-21
(2)等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80=________
【导学号:91432229】
思路探究:(1)由S2,S4-S2,S6-S4成等比数列求解.
- 3 -
(2)利用
S偶
=q,及S2n=S奇+S偶求解. S奇
(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列, 即7,S4-7,91-S4成等比数列,
∴(S4-7)=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q+a2q =(a1+a2)(1+q)=S2(1+q)>S2,∴S4=28. (2)设S1=a2+a4+a6+…+a80,
2
2
2
2
2
S1
S2=a1+a3+a5+…+a79.则=q=3,即S1=3S2.
S2
4
又S1+S2=S80=32,∴S1=32,解得S1=24.
3即a2+a4+a6+…+a80=24.]
母题探究:1.(变条件)将例题(1)中的条件“S2=7,S6=91”改为“正数等比数列中Sn=2,
S3n=14”求S4n的值.
[解] 设S2n=x,S4n=y,则2,x-2,14-x,y-14成等比数列,所以
?????
x-
-x2
=
2
-x,
=x-y-,
所以?
?x=6,???y=30
或?
?x=-4,?
??y=-40
(舍去),所以S4n=30.
2.(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q=3,S80=32”变为“项数为偶数的等比数列,它113
的偶数项之和是奇数项之和的,又它的首项为,且中间两项的和为”求此等比数列的项数.
22128
[解] 设等比数列为{an},项数为2n,一个项数为2n的等比数列中,33n-1n又an和an+1为中间两项,则an+an+1=,即a1q+a1q=,
12812811
又a1=,q=,
22
n-1
nn-1
S偶1
=q.则q=, S奇2
1?1?
∴·??2?2?1?1?31?1?+·??=?·??2?2?1282?2??1?3
·?1+?=?n=6. ?2?128
∴项数为2n=12. 则此等比数列的项数为12. [规律方法] - 4 -