发布时间 : 星期日 文章初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版更新完毕开始阅读
29?,?a?b?取ab?2，得?10
??ab?2.因此a、b为方程10x2?29x?20?0的根，解得a、b为29?4129?41与，故k的最小2020值是5．
18.1.20★★若△ABC的三边长a、b、c均为整数，且abc?140，求△ABC内切圆半径． 解析 不妨设a≤b≤c，于是c≥7．
140140，故c≤，得c≤10．
cc于是c只可能为7或10． 又c?a?b≤1?ab?1?c?7时，ab?20，只可能a?4，b?5，p?1?a?b?c??8，内切圆半径 2r??p?a??p?b??p?c?p?6． 2c?10时，ab?14，没有满足要求的解．
18.1.21★★证明：若a、b、c是一组勾股数a2?b2?c2，则存在正整数k、u、v、u?v，
???u,v??1使得c?k?u2?v2?，而a?k?u2?v2?，b?2kuv；或a?2kuv，b?k?u2?v2?．
解析
a2?b2?c2，设（a，b，c）?k，则a?ka1，b?kb1，c?kc1，a12?b12?c12．易
知a1、b1、c1两两互质；a1与b1不可能同偶，否则2a1，b1，c1；a1与b1也不会同奇，否则c12?2?mod4?，矛盾．于是a1与b1必一奇一偶，不妨设a1奇而b1偶，于是c1为奇数．
从而a12??c1?b1??c1?b1?，c1?b1与c1?b1必互质，否则有一奇素数p|c1?b1，c1?b1，得，与（c1，b1）=1矛盾． p|2c，2b1，故p|（c1，b1）
于是可设c1?b1?u12，c1?b1?v12，（u1，v1）=1，且u1、v1均为奇数，解得
u?vu?vu?v?u?v??u?v??u?v??u?v?c1??11???11?，b1?2?11?11，a1??11???11?，令u?11，
222?2??2??2??2?u1?v1，即得结论． 218.1.22★★★如图，F、E在△ABC的边AB、AC上，FE的延长线与BC的延长线交于D，求证：AF、BF、CB、CD、AE、EC、FE、ED的长度不可能是1～8的排列． v?解析 如果EF?1，则AE?AF?EF?1，得AE?AF，矛盾，故EF?1，同理AF、AE、
2222ED、CD、EC都不等于1．
AFEGDBC
因此1只可能等于FB或BC之长，不失对称性，设BF?1，则
FD?BD?BF?1，FD?BD，作CG∥AB，G在ED上，四边形FBCG乃一等腰梯
形，于是EG?FG?EF?BC?EF为正整数．
又EG?EC?CG?BF?1，故EG?EC，但∠BFD为等腰三角形DFB的底角，
∠BFD?90?，∠EGC?180??∠BFD?90?，为△EGC的最大内角，EC?EG，矛盾，因此结论证毕．
18.1.23★★★已知梯形ABCD中，AD?BC，E、F分别在AB、CD上，EF∥AD∥BC，
．现对于正整数n，ED∥BF，如果AD、EF、BC均为正整数，称该梯形为“整数梯形”
有正整数x?x′ 解析 如图，由△AED∽△EFD,△DEF∽△FBC,得 ADAEDFEF，得???EFBEFCBCEF?AD?BC，于是问题变为求最小的n，使xy与x′y′均为平方数． AEDFBC 故至少有一组≥9，显然另一组也不可能为4，于是xy，x′y′xy、x′y′不可能都为4， ≥9．如果xy或x′y′≥25，则n≥225?10．若xy或x′y′=9或16，则n?1?9或 2?8?10．于是n的最小值为10，x?1，x′=2，y′=8，y=9． 18.1.24★★★求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四 边形． ABPDC 解析 如图，作圆内接四边形ABCD，AC与BD垂直于P，设a为一整数，a?2，AP?4a，BP?a?4，DP?4a?1，则AB?a?4，AD?4a2222?a，由此知CP??1， 2?4??4a2?1?4a， a2?44a2?122而由△ABP∽△DCP，△BPC∽△APD知，BC??4a?1?，CD?4a?a?4?． 4a同时乘以系数4a，得AB?4aa2?4，AD?4a4a2?1，BC?a2?44a2?1， ????????CD??4a2?1??a2?4?，AC?4a4?a2?4，BD?20a?a2?1?． 易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个a，但正整数有无限个，因此有无限个a，使6个多项式两两不等， BD?0，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似． AC18.1.25★★★已知PA、PB为圆的切线，割线过P，与圆交于M、N，与AB交于S，若PA、PM、MS、SN均为正整数，求PA的最小值． 又当a???时， PMBASN 解析 如图，易知有 PMPN(调和点列)． ?MSSNb?c?b?a?b设PM?a，MS?b，SN?c，则b?a?b?c??ac，c?PA?PM?PN?a?a?b?c??aa?b． a?b，从而 设a?ks，b?kt，k?（a，b），则（s，t）=1，s?t，c?kts?ts?t，PA?ks． s?ts?t易见（s?t，s?t）=1，则s、t一奇一偶．于是由（t?s?t?，s?t）=1，得s?t|k，且由PA为整数知s?t?x2，s?t?y2，x、y为奇数．因为s?t|k，于是k的最小值为s?t， c?t?s?t?，PA?s?s?t??s?t??sxy，当s?1，2，3，4时，t无解(即PA不是整数)，故 t?s?t?s?t，此时c?， 22s≥5，又x≥3，y≥1，于是PA≥15，当a?5，b?4，c?36时取到PA?15． 若（s?t，s?t）=2，此时s、t同奇，k的最小值为 s当s?1，3时，无t使PA为整数，于是s≥5，?s?t??s?t?，s?t?2x2，s?t?2y2， 2又x?y，所以y≥1，x≥2，PA?sxy≥5?2?10．当a?5，b?3，c?12时取到PA?10． PA?综上，PA的最小值是10． 18.1.26★★★一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数，求这类四边形中周长最小者． 解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长=14．若等腰梯形上、下底分别为3、4，腰为2，则由托勒密定理，对角线长为4，满足要求，此时周长为11．故最小周长≤11． 显然对圆内接凸四边形ABCD，无边长为1．否则若设AB?1，AD—BD?AB?1，得 AD?BD，同理AC?CB，于是C、D均在AB中垂线上，构不成凸四边形．因此最小周长≥2×4=8． 四边均为2，得正方形，对角线为22，不合要求；三边为2，另一边为3，得等腰梯形，对角线长为10，亦不合要求．故最小周长≥10． 当周长为10时，显然至少有两边为2．若是2、2、2、4，则对角线为12，不合；于是只能为2、2、3、3，四边形为矩形或筝形，总有对角线长为13，亦不合． 故最小周长为11． 18.1.27★★★在Rt△ABC中，∠BCA?90?，CD是高，已知△ABC的三边长都是整数，且BD?113，求△BCD与△ACD的周长之比． CBDA 解析 设△ABC的三边长分别为a、b、c．由题设知 BC2?BD?BA，故a2?113c． 于是设a?112l，得11l2?c由勾股定理得b?c2?a2?11ll2?112是整数，所以l2?112是 完全平方数，设为t2?t?0?，则l2?112?t2，?l?t??l?t??112． ?l?t?1,?l?61,由于0?l?t?l?t，所以?解得于是a?112?61，b?11?61?60． ?2?t?60.?l?t?11.因为△BCD∽△CAD，所以它们的周长比等于它们的相似比，即 a11． ?b60