发布时间 : 星期五 文章初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版更新完毕开始阅读
第18章 整数几何
18.1.1★已知△ABC的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值．
解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h，则
?111??,??h155 ??1?1?1.??515h1515?h?，h可取4、5、6、7这四个值． 4518.1.2★已知△ABC的三边长分别为AB?n?3x，BC?n?2x，CA?n?x，且BC边上的高AD的长为n，其中n为正整数，且0?x≤1，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB为△ABC之最长边，故?B?90?，设BD?y，CD?z，则y?0，而z可解得正可负．
ABDC
由y?z?n?2x，及y2?z2??n?3x???n?x???2n?4x??2x，得y?z?4x，y?222n?3x，22?n?由勾股定理，知??3x??n2??n?3x?，展开得n?12x，由0?x≤1及n为正整数，知
?2?n?1，2，…，12，这样的三角形有12个．
18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为5∶2，求此三角形周长的最大值．
解析
设该直角三角形直角边长为a、b，斜边为c，则外接圆半径R?
c
，内切圆半径2
r?a?b?c，不妨设a≤20． 2c5?，5a?5b?7c，平方，得25a2?b2?2ab?49a2?b2，即
a?b?c2由条件知
????12?a2?b2??25ab?0，
?3a?4b??4a?3b??0，
于是a?3k，b?4k，c?5k，或a?4k，b?3k，c?5k，周长为12k，k为正整数．k的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72．
18.1.4★△ABC为不等边三角形，?A?60?，BC?7，其他两边长均为整数，求△ABC的面积．
A60°xBCy
解析
设AB?x，AC?y，则由余弦定理，有
x2?y2?xy?49．
由条件x?y，不妨设x?y，则AB为△ABC之最小边，x只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当x?3或5时，y?8，其余情形均无整数解．
1xysin60??63或103． 218.1.5★★一点P与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过P且长为整数的弦的条数． 解析 如图，eO半径为15，OP?9，过P的弦ST长为整数，APB为直径，AP?6，PB?24，则SP?TP?PA?PB?144，因此 于是S△ABC?APSOTB
ST?SP?TP≥2SP?TP?24．
又ST≤AB?30，故这样的弦共有?30?24?1??2?2?12条，其中与AB垂直的弦及AB各一条，其余的弦每种长度有两条（关于AB对称）．
18.1.6★★在直角三角形ABC中，各边长都是整数，?C?90?，CD为边AB上的高，D为垂足，且BD?p3（p奇素数），求
AC的值（用p表示）． ABCBDA
解析
由BC2?BD?AB知BDBC2，故设BC?p2t（t为正整数），则BA?pt2，又由勾
股定理，知AC2?p2t4?p4t2，故tpAC．
设AC?kpt，代入得p2?t2?k2??t?k??t?k?，易知只能有t?k?p2，t?k?1，解得ACp2?1p2?1p2?1，k?，于是． ?t?ABp2?12218.1.7★★设正三角形ABC，M、N分别在AB、AC上，MN∥BC，两端延长MN，交
△ABC外接圆于P、Q，若PM、MN、AB长均为正整数，求AB的最小值． 解析 如图， 易知NQ?PM也是整数．设AM?x，BM?y，PM?NQ?z，则MN?x，z2于是由相交弦定理，得xy?z?x?z?，x?．
y?zAPMNQBC
kt2设y?ks，z?kt，k??y,z?，s?t，?s,t??1，则x?，由于s?t,t2?1，故s?tk，
s?t??t2要使AB?x?y?k?ks达到最小，k得取s?t，于是AB?t2??s?t?s．由于s?t，
s?ts≥2，t≥1，知t2??s?t?s≥t2?s≥3．当AM?1，BM?2时AB取到最小值3，此时
PM?1．
18.1.8★★已知凸四边形ABCD的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面
积的两倍，且AD2?BC2?250，求该四边形面积、对角线长度．
解析 不妨设AB??，BC?b，CD?c，DA?d，AC与BD交于O，则
AC?BD?sin?AOB?2SABCD?ac?bd≥AC?BD，于是由托勒密定理，知A、B、C、D必
共圆，且满足AC?BD．又由已知条件，b2?d2?250，a2?c2?250．经搜索知250表为平方和只有两组：52?152和92?132．由对称性，不妨设a?5，b?13，c?15，d?9，
1ac?bd则SABCD?AC?BD??96．
2252?92?BD2132?152?BD2由余弦定理，因cos?BAD?cos?BCD?0，得??0，得
4519524BD?410，于是AC?10．
518.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论． 解析 存在满足条件的三角形．
当△ABC的三边长分别为a?6，b?4，c?5时，?A?2?B．
如图，当?A?2?B时，延长BA至点D，使AD?AC?b．连结CD，△ACD为等腰三角形．
CDAB
因为?BAC为△ACD的一个外角，所以?BAC?2?D．由已知，?BAC?2?B，所以?B??D．所以△CBD为等腰三角形．
又?D为△ACD与△CBD的一个公共角，有△ACD~△CBD，于是所以a2?b?b?c?．
而62?4??4?5?，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形． 评注
满足条件的三角形是唯一的．
ADCDba，即?，?CDBDab?c若?A?2?B，可得a2?b?b?c?．有如下三种情形：
c?n，（ⅰ）当a?c?b时，设a?n?1，（n为大于1的正整数），代入a2?b?b?c?，b?n?1得?n?1???n?1??2n?1?，解得n?5，有a?6，b?4，c?5；
c?n，（ⅱ）当c?a?b时，设c?n?1，（n为大于1的正整数），代入a2?b?b?c?，b?n?12得n2??n?1??2n．解得n?2，有a?2，b?1，c?3，此时不能构成三角形；
（ⅲ）当a?b?c时，设a?n?1，（n为大于1的正整数），代入a2?b?b?c?，b?n，c?n?1得?n?1??n?2n?1?，即n2?3n?1?0，此方程无整数解．
所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，
而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件．
18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？ 解析 设三角形三边依次为n?1、n、n?1，则3≤n≤33，
2p?13?n?1?n?n?1??n， 22S△?p?p?a??p?b??p?c? ?32?1??1?n?n?1??n?1? 4?2??2??n3?n2?4?． 4于是3n2?4是平方数，令3n2?4??3k?，得n2?4?3k2，则n≤32，
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