发布时间 : 星期二 文章【高考】2020年高考理科数学大一轮提分课后限时集训39 基本不等式更新完毕开始阅读
基本不等式
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一、选择题
1.(多选题)下列不等式证明过程正确的是( ) ba
A.若a,b∈R,则a+b≥2
baa·b=2
B.若x>1,y>1,则lg x+lg y≥2lg x·lg y 4
C.若x<0,则x+x≥24
x·x=-4
D.若x<0,则2x+2-x>22x· 2-x=2
BD [A错误,∵a、b不满足同号,故不能用基本不等式;B正确,∵lg x和4
lg y一定是正实数,故可用基本不等式; C错误,∵x和x不是正实数,故不能直接利用基本不等式;D正确,∵2x和2-x都是正实数,故2x+2-x>2成立,当且仅当2x=2-x相等时(即x=0时),等号成立,故选BD.]
2.设0<x<2,则函数y=x(4-2x)的最大值为( ) 2
A.2 B.2 C.3 D.2 D [∵0<x<2,∴4-2x>0,
11?2x+4-2x?21
?=×4=2. ∴x(4-2x)=2×2x(4-2x)≤2×?
22??当且仅当2x=4-2x,即x=1时等号成立. 即函数y=
x(4-2x)的最大值为2.]
2x·2-x=2
11
3.若正数m,n满足2m+n=1,则m+n的最小值为( )
1
A.3+22 C.2+22 A [因为2m+n=1,
B.3+2 D.3
11?11?n2m
所以m+n=?m+n?·(2m+n)=3+m+n≥3+2
??n2m
当m=n,
n2m
m·n=3+22,当且仅
11
即n=2m时等号成立,所以m+n的最小值为3+22,故选A.] 4.(2019·长沙模拟)若a>0,b>0,a+b=ab,则a+b的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8
(a+b)2B [法一:(直接法)由于a+b=ab≤,因此a+b≥4,当且仅当a
4=b=2时取等号,故选B.
11a?11?
法二:(常数代换法)由题意,得a+b=1,所以a+b=(a+b)?a+b?=2+b+
??b
a≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.]
5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为
无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( )
a+b
A.2≥ab(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.
2ab
≤ab(a>0,b>0) a+b
a2+b2
2(a>0,b>0)
a+bD.2≤
a+ba+b
D [由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=2,又OC=OB-BC=2
2
a-b-b=2,
(a-b)2(a+b)2a2+b2
则FC2=OC2+OF2=+=2,
44a+b
再根据题图知FO≤FC,即2≤选D.]
二、填空题
x
6.若对任意x>0,2≤a恒成立,则a的取值范围是________.
x+3x+1x?1?
?,+∞? [∵对任意x>0,2≤a恒成立, ?5?x+3x+1x??
?∴对x∈(0,+∞),a≥?2,
x+3x+1max??而对x∈(0,+∞),
xx2+3x+1
=
1
≤1
x+x+32
11x·x+3
1=5,
a2+b2
2,当且仅当a=b时取等号.故
1
当且仅当x=x时等号成立, 1∴a≥5.]
7.如图,已知正方形OABC,其中OA=a(a>1),函数y=3x2交BC于点P,函数
1
-y=x2交
AB于点Q,当|AQ|+|CP|最小时,则a的值为________.
?
3 [由题意得:P点坐标为?
?=a3+1a≥21, 3
a??
?,Q点坐标为?a,,a3??
1?
?,|AQ|+|CP|a?
3
当且仅当a=3时,取最小值.]
8.(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则值为________.
9(x+1)(2y+1)2xy+2y+x+12xy+55 [===2+2xyxyxyxy. 因为x>0,y>0,x+2y=4, 所以x+2y=4≥2
x·2y,
(x+1)(2y+1)
的最小
xy
即2xy≤2,0<xy≤2,当且仅当x=2y=2时等号成立. 519
所以2+≥2+5×=,
xy22
(x+1)(2y+1)9
所以的最小值为
xy2.] 三、解答题
9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.
82
[解] (1)由2x+8y-xy=0,得x+y=1,又x>0,y>0, 82则1=x+y≥2
828·=,得xy≥64, xyxy
当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立. 故xy的最小值为64.
(2)法一:(消元法)由2x+8y-xy=0,得x=因为x>0,y>0,所以y>2, 则x+y=y+
8yy-2
=(y-2)+
16y-2
+10≥18,
8yy-2
,
4