发布时间 : 星期日 文章(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习 二项分布及其应用讲义(含解析)更新完毕开始阅读
§11.3 二项分布及其应用
最新考纲 1.了解独立事件的概念. 2.了解独立重复试验的模型及二项分布. 考情考向分析 以了解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用.识别概率模型是解决概率问题的关键.在高考中，常以选择、填空题的形式考查，难度为中低档.
1.相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).
(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立. (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立. 2.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为
kn－kp，则P(X＝k)＝Ck(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为np(1－p)
X～B(n，p)，并称p为成功概率.
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 概念方法微思考
“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.
1
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( × )
(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( × )
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × ) 题组二 教材改编
2.[P55T3]天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56 答案 C
解析 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB， ∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.
3.[P69B组T1]抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________. 答案
50
9
n444
解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出
6695?45?现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B?10，?，E(X)9?99?550
＝10×＝.
99题组三 易错自纠
23
4.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成
34一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( ) 1511A.B.C.D. 21246答案 B
2
23
解析 因为两人加工成一等品的概率分别为和，
34
21135
且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P＝×＋×＝.
343412
1
5.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )
34242A.B.C.D. 992727答案 A
?1?1?1?3－141
解析 所求概率P＝C3·??·?1－?＝.
9?3??3?
11
6.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定两人的行动相互之
34间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 1
答案
2
解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(AB)
?1??1?1
＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝?1－??1－?＝，
?3??4?2
“甲、乙两人至少有1人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙两人都不去北京旅游”， 11
故所求概率为1－P(AB)＝1－＝.
22
题型一 相互独立事件的概率
*
例1 (2018·温州“十五校联合体”期中联考)一个口袋中装有n个红球(n≥4且n∈N)和5个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖. 4
(1)若一次摸两个球，其中奖的概率为，求n的值；
9
(2)若一次摸一个球，记下颜色后，又把球放回去.当n＝4时，求两次摸球中奖的概率. 解 (1)一次摸奖从n＋5个球中任选两个，有Cn＋5种，它们等可能，其中两球不同色有CnC5种，10nn－n＋20一次摸奖中奖的概率P＝1－＝2.
?n＋5??n＋4?n＋9n＋20
2
2
11
n2－n＋204由2＝，得n＝4或n＝5. n＋9n＋209
(2)若n＝4，两次摸球(每次摸球后放回)中奖的概率是
3
P＝×＋×＝.
思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) 1323A.B.C.D. 2534答案 D
解析 设Ai (i＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜；B事件表示甲队获得冠军， 则B＝A1＋A1A2，
1113
∴P(B)＝P(A1)＋P(A1A2)＝＋×＝.
2224题型二 独立重复试验
494554199981
例2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音1
乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
2(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有
12
P(X＝10)＝C13×??×?1－?＝， 22
?1???
??
1??
38
1?2?1?13?P(X＝20)＝C×??×?1－?＝， ?2??2?8
23
30
P(X＝100)＝C33×??×?1－?＝， 22
?1???
??
1??
18
03
P(X＝－200)＝C03×??×?1－?＝.
22
?1???
??
1??
18
所以X的分布列为
4