发布时间 : 星期六 文章2018版高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用理更新完毕开始阅读
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当且仅当a＝b＝时，取等号．
2
11
2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．
ab1111
解 由＋＝4，得＋＝1.
ab4a4b111ba1∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋24a4b24a4b21
当且仅当a＝b＝时取等号．
2
11
3．将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值．
ba·＝1. 4a4bab解 ∵a＋2b＝3， 12
∴a＋b＝1， 33
11111212a2b∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋ abab33333b3a≥1＋2
a2b22
·＝1＋. 3b3a3
当且仅当a＝2b时，取等号．
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2答案 (1)5 (2)4
13
解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
5y5x13
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)
5y5xx－3
1y1m＝()，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________. 2xy 5
943x12y1312
＝＋＋＋≥＋＝5. 555y5x55
3x12y1
当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，
5y5x2∴3x＋4y的最小值是5.
3y方法二 由x＋3y＝5xy得x＝，
5y－11
∵x>0，y>0，∴y>，
5
194
13?y－?＋＋－4y5559y∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y
5y－15y－1139
＝＋·55
1
＋4(y－) 15y－536
＝5， 2515
13≥＋25
1
当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
2(2)由2
x－3
1y＝()得x＋y＝3， 2
1m11m＋＝(x＋y)(＋) xy3xy1ymx＝(1＋m＋＋) 3xy1
≥(1＋m＋2m) 3
(当且仅当＝，即y＝mx时取等号)， 1
∴(1＋m＋2m)＝3， 3解得m＝4.
题型二 基本不等式的实际应用
例3 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投12
入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x(万元)．当年产量不小于80千件
310 000
时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生
ymxxyx 6
产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：当0 L(x)＝1 000x×0.05－(x2＋10x)－250 12 ＝－x＋40x－250； 3当x≥80时， 13 L(x)＝1 000x×0.05－(51x＋ 10 000 ＝1 200－(x＋)． 10 000 －1 450)－250 xx1 －x＋40x－250?0 ∴L(x)＝?10 000 1 200－?x＋??x≥80?.??x2 12 (2)当0 3对称轴为x＝60， 即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元)； 10 000 当x≥80时，L(x)＝1 200－(x＋) x≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1 000(万元)， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件， 则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备 8费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件． (2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x＋18x－25(x∈N)，则每台机器为 7 2 * x该公司创造的年平均利润的最大值是________万元． 答案 (1)80 (2)8 解析 (1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得 y＝800x＋≥2 x8800x·＝20. x8 800x当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立． x8 y25 (2)年平均利润为＝－x－＋18 xx25 ＝－(x＋)＋18， x25∵x＋≥2xx·＝10， xx25 y25 ∴＝18－(x＋)≤18－10＝8， x25 当且仅当x＝，即x＝5时，取等号． x题型三 基本不等式的综合应用 命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x＋y－2y－5＝0的41 圆心，则＋的最小值是( ) 2 2 bcA．9 B．8 C．4 D．2 (2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则 Sn＋8 的最小值是________． an9 答案 (1)A (2) 2 解析 (1)圆x＋y－2y－5＝0化成标准方程， 得x＋(y－1)＝6， 所以圆心为C(0,1)． 因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C， 所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 41414cb因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5. 2 22 2 bcbcbc因为b，c>0， 8