发布时间 : 星期二 文章大学生数学竞赛（数学类）赛前强化训练题集（高代与解几）更新完毕开始阅读
PA,PB,PC为棱作平行六面体,记与P相对的顶点为Q,求Q点的轨迹.
9.(北大2008).证明球面x2?y2?z2?2x?2y?4z?2?0与球面x2?y2?z2?2x?6y?1?0有交点,并求出交圆的圆心坐标.
10.(中科大2008).已知直线l1:x?1?y?2??z?1和平面?:2x?y?z?0. ?2(1)求l1在?上的投影直线l2的方程.(2)求l1绕l2旋转所得的旋转曲面的方程.
?y?x211.(中科大2010).填空：(1)以曲线?为准线,原点为顶点的锥面方程为 . (2)
?z?2以xOy平面上的曲线f(x,y)?0绕x轴旋转所得的旋转面的方程是 ； 如果曲线方程是x2?y2?1?0,由此得到的曲面类型是 . xyz?b??. (1)问:参数a,b满足什么1a1条件时, L与L'是异面直线？(2)当L与L'不重合时,求L'绕L旋转所生成的旋转面?的方程,
12.(2009决赛).已知两直线的方程:L:x?y?z, L':并指出曲面?的类型.
8.3 平面与空间直线
1.(北大1996).在仿射坐标系中，求过点M0(0,0,?2),与平面?1:3x?y?2z?1?0平行,且与直线l1:x?1y?3z??相交的直线l的方程. 4?212.(北大1998,2002).设在直角坐标系中给出了两条互相异面的直线l1,l2的普通方程：
?x?y?z?1?0, l2l1:??x?y?2z?1?0;?3x?y?1?0, :??y?3z?2?0.(1)过l1作平面?,使?与l1平行;(2)求l1与l2间的距离;(3)求l1与l2的公垂线的方程. 3.(北大1999).在仿射坐标系中，已知直线l1,l2的方程分别是
l1:x?13y?5zx?10y?7z??, l2:??, 231541(1)判断直线l1与l2的位置关系,要求写出理由;(2)设直线l的一个方向向量为v(8,7,1),并且l与l1和l2都相交,求直线l的方程.
x2?y2?z2?1的交线为一个圆. 4.(北大2006).求一个过x轴的平面,使得其与单叶双曲面4 47
5.(北大2006).在仿射坐标系中，已知直线l1的方程为???x?y?z?7?0, l2过点M(?1,1,2),
?2x?y?6?0,平行于向量u(1,2,?3),判断直线l1与l2的位置关系,要求写出理由.
?A1x?B1y?C1z?D1?0,6.(北大2007). l直线的方程为?问系数要满足什么条件,才能使得直线满
Ax?By?Cz?D?0.222?2足下列条件(1)过原点;(2)平行于x轴,但不与x轴重合;(3)与y轴相交;(4)与z轴重合. 7.(北大2008).求过直线l:??x?y?z?4?0,且与平面?1:x?y?2z?0垂直的平面?2.
?x?y?3z?0,??x?y?z?0,8.(北大2008).直线l1过点(1,1,1),,并且与直线l2:?相交,交角为,求l1的方程.
3?x?y?3z?0,9.(北大2010).求过z轴且与平面x?2y?3z?1夹角10.(中科大2010).设空间上有直线l1:?3,为的平面的方程.
x?1yz??和l2:(x,y,z)?(3?2t,t,3t?3).设平面?310与直线l1,l2平行,且?与l1的距离是91,求?的方程.
8.4 二次曲面
1.(北大1996).作直角坐标变换,把下述二次曲面方程化成标准方程,并指出它是什么曲面：
x2?4y2?z2?4xy?8xz?4yz?2x?y?2z?25?0 162.(北大1999). 在直角坐标系Oxyz中,设顶点在原点的二次锥面S的方程为
a11x2?a22y2?a33z2?2a12xy?2a13xz?2a23yz?0.
(1)如果三条坐标轴都是S的母线,求a11,a22,a33;(2)证明：如果S有三条互相垂直的直母线,则
a11?a22?a33?0.
3.(北大2000). 在直角坐标系中,一个柱面的准线方程为??xy?4,母线方向为(1,?1,1)求这个柱面的方程.
?z?0,?204????14.(北大2000).(1)设实数域上的矩阵A??060?, 求正交矩阵T, 使得TAT为对角矩阵,
?402???并且写出这个对角阵.(2) 在直角坐标系Oxyz中,二次曲面S的方程为
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2x2?6y2?2z2?8xz?1.
作直角坐标变换,把S的方程化成标准方程,并且指出它是什么二次曲面.
x2y25.(北大2007).证明双曲抛物面2?2?2z的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.
ab6.(北大2008).平面Ax?By?Cz?D?0与单叶双曲面x2?y2?z2?1的交线是两条直线,证明：A?B?C?D.
7.(2009省区赛).求经过三平行直线L1:x?y?z,L2:x?1?y?z?1,L3:x?y?1?z?1, 的圆柱面方程.
8.(2010省区赛).已知二次曲面?(非退化)过以下九点：A(1,0,0),B(1,1,2),C(1,?1,?2),D(3,0,0),
2222E(3,1,2),F(3,?2,?4),G(0,1,4),H(3,?1,?2),I(5,22,8).问?是哪一类曲面？
9.(2010决赛).求出过原点且和椭球面4x2?5y2?6z2?1的交线为一个圆周的所有平面.
8.5 二次曲线的一般理论
1.(北大1997).判断下列二次曲线类型：(1) x2?3xy?y2?10x?10y?21?0; (2)x?4xy?4y?20x?10y?30?0.
2.(北大2000). 在平面直角坐标系Oxy中,二次曲线的方程为：
22x2?3xy?y2?10x?10y?21?0.
求I1,I2,I3;指出这是什么二次曲线,并且确定其形状.
3.(北大2005).在直角坐标系中对于参数?的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：
x2?y2?2?xy???0.对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直
线的方程.
4.(北大2010).定义仿射坐标系Oxy中的一个变换f:?(1)求在f下的不变直线.
(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系O'x'y',求在此坐标系中f的变换公式.
(3)用不过圆锥顶点的平面切割圆锥,证明所截的曲线只可能为椭圆、双曲线和抛物线.并说明曲线
类型随切割角度的变换规律.
?x'?7x?y?1
?y'?4x?2y?4. 49
5.(中科大1997).给定直角坐标平面Oxy上的二次曲线?,其方程为
Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0.
证明:当B?4AC?0时,曲线?的方程可经坐标旋转变换和平移变换简化为
2?1x'2??2y'2?24?,
B2?4ACB/2D/2??A??24AC?BCE/2?. ?0的根,而??det?B/2其中?1和?2是方程?1?(A?C)??4?D/2E/2F????1??x??26.(中科大1999).在平面直角坐标系中, ??y????3?????23??x?2????表示平面上的点的怎样的变换？ ???1?y??2?7.(中科大2010).填空：二次曲线x2?4xy?y2?10x?10y?21?0的类型是： 通过转轴去掉交叉项的转角角度是 （只需要填写一个角度即可）.
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