发布时间 : 星期二 文章大学生数学竞赛（数学类）赛前强化训练题集（高代与解几）更新完毕开始阅读
全国大学生数学竞赛（数学类）赛前强化训练题集
高等代数与解析几何 篇
一、向量空间与矩阵
1.1 向量空间
1.(北大2007).回答下列问题：
(1)是否存在n阶方阵A,B,满足AB?BA?E (单位矩阵)？又,是否存在n维线性空间上的线性变换A,B,满足AB?BA?E (恒等变换)？若是,给出证明;若否,举出例子.
(2) n阶行列式A各行元素之和为常数c,则A的各行元素之和是否为常数？若是,是多少？说明理由.
(3) m?n矩阵秩为r,取r个线性无关的行向量,再取r个线性无关的列向量,组成的r阶子式是否一定为0？若是,给出证明;否,举出反例.
(4) A,B都是m?n矩阵.线性方程组AX?0与BX?0同解,则A与B的列向量是否等价？行向量是否等价？若是,给出证明;否,举出反例.
32(5)把实数域R看成有理数域Q上的线性空间, b?pqr,这里的p,q,r是互不相同的素数.判断
3向量组1,nb,nb2,?,nbn?1是否线性相关？说明理由.
2.(北大2010).向量组?1,?2,?,?s线性无关,且可以由向量组?1,?2,?,?l线性表出.证明必存在某个向量?j(j?1,2,?,l)使得向量组?j,?1,?2,?,?s线性无关.
3.(北大2010).设A是n阶正定矩阵,向量组?1,?2,?,?s满足?iA?j?0(1?i?j?n).问
'向量组?1,?2,?,?s的秩可能是多少？证明你的结论.
1.2 线性方程组
1.(北大1997).设A,B是数域K上的n阶方阵, X是未知量x1,x2,?,xn所成的n?1矩阵.已知齐次线性方程组AX?0和BX?0分别有l,m个线性无关解向量,这里l?0,m?0. (1)证明
(AB)X?0至少有max(l,m)个线性无关解向量. (2) 如果l?m?n, 证明(A?B)X?0必有非
n零解. (3)如果AX?0和BX?0无公共非零解向量,且l?m?n, 证明 K中任一向量?可唯一
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表成?????, 这里?,?分别是AX?0和BX?0的解向量.
2.(北大1998).讨论a,b满足什么条件时,数域上的下述线性方程组有唯一解,有无穷多个解,无解？当有解时,求出该方程组的全部解.
?ax1?3x2?3x3?3,??x1?4x2?x3?1, ?2x?2x?bx?2.23?1l3.(北大2001).设?是复数域C上的本原次单位根(即, ?n?1,而当0?l?n时, ??1),
s,b都是正整数,而且s?n.令
?1?b?2b??2(b?1)?1?b?1A???????1?b?s?1?2(b?s?1)????. ???(n?1)(b?s?1)?????(n?1)b??(n?1)(b?1)??任取??Cs判断线性方程组AX??有无解？有多少解？写出理由.
4.(北大2006).(1)设A,B分别是数域K上s?n,s?m矩阵.叙述矩阵方程AX?B有解的充分必要条件,并给予证明.(2)设A是数域K上s?n列满秩矩阵,试问：方程XA?En是否有解？若有解,写出它的解集：若无解,说明理由.(3) 设A是数域K上s?n列满秩矩阵,试问：对于数域K上
s?m矩阵,矩阵方程AX?B是否一定有解？当有解时,它有多少个解？求出它的解集,要求说明理由.
5.(北大2008).回答下列问题：
(1) A是s?n矩阵.非齐次线性方程组AX??有解且rank(A)?r,则AX??的解向量中线性无关的最多有多少个？并找出一组个数最多的线性无关解向量. (2) AX??对于所有的s维非零向量?都有解,求rank(A).
1??1??6.(北大2010). 设A,B是n阶矩阵,且满足A??B?E??B?E?.证明: 对任意的n维
110??110??列向量?,方程组A(A?A)X?AT2TT?必有非零解.
n7.(中科院2007).设?1,?2,?,?k?R是齐次线性方程组AX?0的基础解系,
s,t?R, ?1?s?1?t?2,?,?k?1?s?k?1?t?k,?k?s?k?t?1.
试问：s,t应该满足什么关系,使得
?1,?2,?,?k是方程组AX?0的基础解系,反之,当
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?1,?2,?,?k是方程组AX?0的基础解系时,这个关系必须成立.
8.(中科院2006).考虑齐次线性方程组AX?0,其中A?(aij)(n?1)?n.设Mj(j?1,2,?,n)是在系数矩阵A中消去第j列所得到的n?1阶子式.求证: (1)M1,?M2,?,(?1)n?1Mn是方程组的一个解;
(2)如果A的秩为n?1,那么方程组的解全是M1,?M2,?,(?1)n?1Mn的倍数.
?????x1?x3?0,又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解9.(中科院2006).设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为?x?x?04?2为k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T. (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解,若没有,则说明理由. 10.(中科院2004). ??xn?1?xn?4yn,已知x0?1,y0?0,求x100,y100.
y?2x?ynn?n?1?2x1?7x2?3x3?x4?5?x?3x?5x?2x?3?123411.(中科大1997,2010).求线性方程组?的通解.
?x1?5x2?9x3?8x4?1??5x1?18x2?4x3?5x4?1212.(中科大1998).取哪些值时,下面的方程组有非零解:
1?1??11???????11???x1??0???????1??x2??0????. ?????????????????n?1?????xn??0??1
1.3 矩阵代数
1.(北大2000).设实数域上的s?n矩阵A的元素只有0和1,并且A的每一行的元素的和是常数
r,A的每两个行向量的内积为常数m,其中m?r. (1)求|AA'|;(2)证明s?n;(3)证明AA'的特
征值全为正实数.
2.(北大2006).(1)设A,B分别是数域K上s?n,n?s矩阵,证明：
rank(A?ABA)?rank(A)?rank(En?BA).
(2) 设A,B分别是实数域上n阶矩阵,证明：矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变. 3.(北大2007).矩阵A,B可交换,证明rank(A?B)?rank(A)?rank(B)?rank(AB).
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4.(北大2008).(1)设A,B分别是数域K上s?n,n?m矩阵,则对于所有m?l矩阵C,是否有
rank(ABC)?rank(BC)？给出你的理由.(2) A是n阶矩阵, A的每一元素的代数余子式都等
于此元素,求rank(A).
5.(北大2010).设A是非零矩阵,证明A可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积. 6.(中科院2007).设A是n阶实数矩阵,A?0,而且A的每个元素和它的代数余子式相等.证明A是可逆矩阵.
?/n??1?7.(中科院2006).若?为一实数,试计算lim?. ?n????/n1???a1???a???50100?100A8.(中科院2006).设a为实数,A??求的第一行元素之和. ?R,??1???a???9.(中科院2004).设A,B是n阶实方阵,而I是n阶单位阵,证明:若I?AB可逆,则I?BA也可逆.
n?10a???10.(中科院2003).已给如下三阶矩阵：A??01b?,(1)求det(A);(2)求Tr(A);(3)证明:
?cd1???rank(A)?2;(4)为使rank(A)?2,求出a,b,c和d应满足的条件.
11.(中科院2010).(1)设A,B是n阶方阵, A可逆,B幂零,AB?BA.证明:A?B可逆; (2)试举例说明上述问题中A,B可交换的条件不能去掉.
12.(中科大1997).(1)设n阶矩阵A????Ik?A21A12??,其中Ik是k阶单位矩阵,A22是n?k阶矩阵.证明: A22??k?rank(A)?n,其中rank(A)是A的秩.并证明rank(A)?k的充要条件是A22?A21A12.(2)设A是n阶可逆矩阵, ?和?是n维列向量,证明:n?1?rank(A???)?n,并且
Trank(A???T)?n?1的充要条件是: ?TA?1??1,这里?T表示?的转置.
?2?1?????12??13.(中科大1997).设5阶3对角矩阵A??.(1)计算A的行列式det(A); ????1????12???5?5
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