发布时间 : 星期日 文章湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳五中、荆州中学等八校2019届高三第二次联考数学(文)试题(解析版)更新完毕开始阅读
能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx．
（1）函数f（x）在（1，f（1））点的切线l方程为2x+y＝0，求a，b的值，并求函数f（x）的最大值；
（2）当a＝0，b＝l且t∈（0，+∞），关于x的方程tf（x）＝x2有唯一实数解，求实数t的值．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b；进而得到f（x）的单调性和极值、最值；
（2）当a＝0时，方程tf（x）＝x2即x2﹣tx﹣tlnx＝0，令g（x）＝x2﹣tx﹣tlnx，对其进行求导，利用导数来函数的单调性和最值，解方程可得所求值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx+ax2+bx的导数为f′（x）＝+2ax+b， 在（1，f（1））点的切线斜率为k＝1+2a+b， 由题意可得1+2a+b＝﹣2，且a+b＝﹣2， 可得a＝b＝﹣1，
f（x）＝lnx﹣x2﹣x的导数为f′（x）＝﹣2x﹣1， 由f′（x）＝0，可得x＝（﹣1舍去），
当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减， 可得x＝处，f（x）取得极大值，且为最大值﹣ln2﹣； （2）a＝0，b＝1时，方程tf（x）＝x2即x2﹣tx﹣tlnx＝0， 设g（x）＝x2﹣tx﹣tlnx，
解g′（x）＝2x﹣t﹣＝0，得x1＝
（x1＜0舍去），
x2＝
，
可得g（x）在x∈（0，x2）单调增加，
在x∈（x2，+∞）单调减少，最大值为g（x2）， 因为tf（x）＝x2有唯一实数解，g（x）有唯一零点， 所以g（x2）＝0，
由即，
得x2+2lnx2﹣1＝0，
因为h（x）＝x+lnx﹣1单调递增，且h（1）＝0， 所以x2＝1， 从而t＝1．
【点评】此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，考查构造函数法和方程思想，此题是一道中档题．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知直线l：p（cosθ+sinθ）＝2与曲线C：C：p＝4cosθ． （1）若直线l与曲线C有两个交点A，B，求|AB|；
（2）若点P是曲线上与A，B相异的任一点，求△PAB面积的最大值．
【分析】（1）直接利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ及x2+y2＝ρ2即可化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心坐标为（2，0），半径为2，可得直线过圆心，得|AB|＝2r＝4； （2）令∠PAB＝θ，（θ∈（0，
）），代入三角形面积公式，由正弦函数的值域求解．
【解答】解：（1）由l：ρ（cosθ+sinθ）＝2，得x+y＝2． 由C：ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得x2+y2﹣4x＝0， 即（x﹣2）2+y2＝4．
∴圆心坐标为（2，0），半径为2． ∵直线过圆心，∴|AB|＝2r＝4； （2）令∠PAB＝θ，（θ∈（0，则当
时取最大值．
）），
．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标化直角坐标，是基础题． [选修4一5：不等式选讲]
23．（1）已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为2，求a与b的关系； （2）若a，b满足（1）中的条件，求9a+3b的最小值．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质进行求解即可， （2）利用基本不等式的性质进行转化求解．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|≥|x﹣2a﹣（x+b）|＝|2a+b|， 即f（x）的最小值为|2a+b|， 若f（x）的最小值为2， ∴|2a+b|＝2， ∵a＞0，b＞0 ∴2a+b＝2．
（2）若a，b满足（1）中的条件，则2a+b＝2． 则9a+3b≥2
＝2
＝2
＝6，
当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等号 即.9a+3b的最小值为6．
【点评】本题主要考查函数最值的应用，结合绝对值不等式的性质以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键．