发布时间 : 星期五 文章2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)更新完毕开始阅读
?a?b?2?0a?2b?4．若实数a,b满足?b?a?1?0，则的最大值为 ( C )．
2a?b?a?1?A． 1 B． 答案：C.
解答：由a,b满足的条件知1?57 C． D． 2 45a?2bb?3，所以?2?a2a?b32?ba?713，当(a,b)?(,)取等号。
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5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则
S?PQRS?ABC的最小值为( D )．
1111 B． C． D． 2345参考答案：D.
解答：如图5-1所示，
A． A
A P H
R P B Q C R Q B C 图5-1 图5-2
（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，
.?APR,?BQR中分别应用正弦?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR在
定理得
PRARQRBR?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故AR?BR即R为ABsinAsinAPRsinBsinBQR的中点.
S?PQR1RH过作RH?AC于，则PR?RH?BC,所以
2S?ABC的最大值为
1(BC)2S?PQRPR12???,此时
BC2BC24S?ABC21. 45-2
所示，设
（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???在Rt?CPR中，PR??2),则?CPR?90??PRC??BRQ??.
CRx?, sin?sin?x3,?RQB????QRB??B????, sin?4xPQRB1?x由正弦定理, ??sin???
?3sinBsin?PQBsinsin(???)44x111x2112?)?()2. ，因此S?PQR?PR?(sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?这样，
S?PQRS?ABC?(111)2??，当且仅当??arctan2取等号，222cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)515此时
S?PQRS?ABC的最小值为.
6. 已知数列?an?的通项an?数x等于（ D )． A．?nx(x?1)(2x?1)(nx?1) ，n?N，若a1?a2?*?a2015?1，则实
35911 B．? C．? D．? 2406012答案：D.
an?(nx?1)?111??(x?1)(2x?1)(nx?1)(x?1)(2x?1)[(n?1)x?1](x?1)(2x?1)(nx?1)
2015则
?ak?1?k?11?1?(x?1)(2x?1)(x?1)(2x?1)(2015x?1)?(?(2015x?1)?0，所以
111x?(?1,?)?(?,?)?234意。
11111,?)?(?,??)，经检验只有x??符合题201320142015607． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )． ．．．
261961636 B． C． D．
553175答案：C.
A．
解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾斜角为
??(0???)。
2当
过
点
P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时，
PQsin??a?RScos??sin??4cos??sin??S?(PQsin?)2?16。 17417，此时正方形的面积
同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S?对边所在的直线时，S?36；当过点P,S的直线为正方形的5196. 538．若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)???(m?n)?102015,m?Z,n?N*?，则集合A中的元素
个数为( B )．
A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162 答案：B.
解答：由已知得n(n?2m?1)?2201620155，因为n,n?2m?1一奇一偶，所以n,n?2m?1两者之一
为偶数，即为22016,220165,2201652,,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所
以集合A共有4032个元素.
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）
9．已知函数f(x)满足f(x?1)?f(1?x)?，0f(x?2)?f(2?x)?0，且f()?1，则
231000f()? ．
3答案：?1.
解答：f(x?2)?f(?2x?)f?[1x?(?1?)f]?x[1?(?f?1x)?f(，x所?以f?x100044112f()?f(332?)?f()?f(1?)??f(1?)??f()??1.
33333310．若数列{an}的前n项和Sn?n?n，n?N，则?32*2015i?11= ．
ai?8i?2答案：
2015. 6048解答：an?2015?a??aii?1i?1nn?1i?3n2?5n?2,又a1?0，故an?3n2?5n?2(n?N*),
20152015111201511. ??(?)????a?8i?23i(i?1)3ii?16048i?1ii?1i?111． 已知F为抛物线y?5x的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当|MA|?|MF|取最小值时，点M的坐标为 ． 答案：(21,1). 5解答：设抛物线的准线为l:x5??.过M作l的垂线，垂足为H,则
41AM?MF?AM?MH?AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为(,1)。
512．若16答案：?sin2x?16cos2x?10，则cos4x? . 1. 2sin2x解答:设t?16即
,1?t?16，则16cosx?161?sinx?221616?10?t?2,或t?8，，代入方程得t?tt113sinx?或，所以cos4x??。
4422{?13. 设函数f(x)?minx21,x??1,x?，1}其中minx{y,z,表}示x,y,z中的最小者．若
f(a?2)?f(a，则实数)a的取值范围为 ．