发布时间 : 星期二 文章2014北京市朝阳区高三二模理科数学试题和答案更新完毕开始阅读
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（理工类）
2014．5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
2（1）已知集合A?{x?R2x?3?0}，集合B?{x?Rx?3x?2?0}，则AB?
（A）?xx???3??3? （B）x?x?2??? 2?2??（C）x1?x?2 （D）?x（2）如果a?b?0，那么下列不等式一定成立的是
???3??x?2? ?2?开始 输入a i=0 a=2a+3 i=i+1 否 1a1b（A）log3a?log3b （B）()?()
441122（C）? （D）a?b
ab
（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整
数a的可能取值的集合是 （A）?1,2,3,4,5? （B）?1,2,3,4,5,6? （C）?2,3,4,5? （D）?2,3,4,5,6?
a >13? 是 输出i 结束 y2π（4）已知函数f(x)?Asin??x???(A?0,??0,??)的
2部分图象如图所示，则??
π? （B）
66ππ（C）? （D）
33（A）?
（5）已知命题p：复数z?Oππ123-2x1?i在复平面内所对应的点位于第四i 1
象限；命题q：?x?0，x?cosx，则下列命题中为真命题的是
（A）(?p)?(?q) （B）(?p)?q （C）p?(?q) （D）p?q
y2（6）若双曲线x?2?1(b?0)的一条渐近线与圆x2?(y?2)2?1至多有一个交点，则
b2双曲线离心率的取值范围是
（A）(1,2] （B）[2,??) （C）(1,3] （D）[3,??) （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．
若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是
（A）60万元 （B）80万元 （C）90万元 （D）100万元
（8）如图放置的边长为1的正△PMN沿边长为3的正方形ABCD的各边内侧逆时针方向
滚动．当△PMN沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P的轨迹长度是 （A）
煤（吨） 电（千度） 纯利润（万元） 1箱甲产品 1箱乙产品 3 1 1 2 1 1 DC8?16? （B） 33MA(P)NB （C）4? （D）??
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
（9）已知平面向量a，b满足a?1，b?2，a与b的夹角为60?，则2a?b?____． （10）(1?2x)的展开式中x项的系数为___．（用数字表示）
（11）如图，AB为圆O的直径，AB?2,过圆O上一点M作圆O的切线，交AB的延
长线于点C，过点M作MD?AB于点D，若D是OB中点，则AC?BC=_____．
2
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（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积
是 ．
2AODM（第11题图）
BC2正视图侧视图2
（13）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?2an?4(n?N?)，则an? ；
数列{log2an}的前n项和为 ．
（14）若存在正实数M，对于任意x?(1,??)，都有f(x)?M，则称函数f(x)在(1,??)
上是有界函数．下列函数 ①f(x)?2俯视图（第12题图）
1xlnx； ②f(x)?2； ③f(x)?； ④f(x)?xsinx， x?1x?1x其中“在(1,??)上是有界函数”的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A???，b?3，△ABC 3的面积为
153． 4（Ⅰ）求边a的长； （Ⅱ）求cos2B的值．
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（16）（本小题满分13分）
某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段?75,80?，?80,85?，?85,90?，
?90,95?，?95,100?（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计
从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记?为3位学生中参加社区服务时间不少于90 小时的人数．试求随机变量?的分布列和数学期望E?．
（17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是
0.075 0.060 0.040 0.020 0.005 O 75 80 85 90 95 100 频率 组距 服务时间/小时
正方形，侧面PAD?底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA?PD?AD?2．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC； （Ⅱ）求二面角E?DF?A的余弦值； （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使
PEADFBCGF?平面EDF？若存在，指出点G的
位置；若不存在，说明理由．
（18）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?e2x?1?ax?1，a?R．
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x?ey?1?0垂直，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设a?2e3，当x?[0,1]时，都有f(x)?1成立，求实数a的取值范围．
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