发布时间 : 星期三 文章09-10第一学期期末考试数学试题及答案（理）更新完毕开始阅读
20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，?ABC??4, PA?底面ABCD, PA?4,M为PA的中点，N为BC的中点.
（1）求证：MN//平面PCD
（2）求直线BC与平面PCD所成角大小的正弦值； （3）求点B到平面PCD的距离.
PMABNCD21、（本小题满分12分）在如图长方体中，底面为边长为2的正方形，侧棱AA1?4，
点E为B1B的中点.
A1D1C1B1P （Ⅰ）求平面AED1与底面ABCD所成的角的余弦值； （Ⅱ）在线段BC1上是否存在一点P，使得A1P?C1D， 若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由。
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DAECB
22、（本小题满分14分）如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，
点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且AC?BC?0，|BC|＝2|AC|． （I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在
????????实数λ，使PQ??AB．
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参考答案：一、CBADC DBCAC CD
23516、[4,5) 二、13、k?? 14、y2?12x15、
35(1)?m?n?6三、17、解：?2 2?m?n?2mncos60??100(2)12 (2)??1?得 mn?64 S??mnsin60??163
218、解：（1）AC1?AB?AD?AA1?5 （2）AC1?AB?AD?AA1，BD?AD?AB，
AC1?BD?0,AC1?BD 19、解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)
?2y12x??1(1)4x??14k?? （2）-（1）得 AB, ?2y?x2?y2?1(2)2?4?y?14xy?1?又kMP?，??并化简，4x2?y2?y?0
xyx20、解：（1）取BD中点P，NP//PC，MP//CD，面MNP//面PCD， 所以MN//面PCD z（2）建系如图，法向量n?(2,21)
2sin??
34（3）d?
3621、（1）cos??
611 （2）存在，C1P?C1B,P(,2,3)
42x2y2?2?1 程为
4b
∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵AC?BC?0， ∴AC⊥BC 又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC|
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MABxDyNC22、解：（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方
∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为（1，1） ∴点B的坐标为（－1，－1）
2将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得b?4， 3
x23y2??1. 则求得椭圆方程为44（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k（x－1）+1，y＝－k（x－1）+1
?y?k(x?1)?1?由?x23y2 得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0 (*)
?1???44∵点C（1，1）在椭圆上，
3k2?6k?13k2?6k?1∴x＝1是方程（*）的一个根，∴xP?1＝即xP＝
3k2?13k2?13k2?6k?1同理xQ＝ 23k?1
2(3k2?1)yP?yQk(xP?xQ)?2kk?3k2?1?2k1∴直线PQ的斜率为???（定值）
?12kxP?xQxP?xQ323k?1又∠ACB的平分线也垂直于OA
1） 3????????????????∴向量PQ//AB，即总存在实数?，使PQ??AB成立．
∴直线PQ与AB的斜率相等（∵kAB=
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