2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案:第二层提升篇专题五 解析几何第2讲 圆锥曲线的定义、方

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85C.5 45D.5 解析:选C 如图.设椭圆的右焦点为F′.连接MF′.NF′.因为|MF|+|NF|+|MF′|+|NF′|≥|MF|+|NF|+|MN|.所以当直线x=m过椭圆的右焦点时.△FMN的周长最大. 2b285此时|MN|=a=5.又c=a2-b2=5-4=1.18585所以此时△FMN的面积S=×2×=.故选C. 255x2y22.(20xx·福州模拟)已知双曲线C:a2-b2=1(a>0.b>0)的右焦点为F.点B是虚轴的一个端点.线段BF与双曲线C的右支交―→―→―→于点A.若BA=2AF.且|BF|=4.则双曲线C的方程为( ) x2y2A.6-5=1 x2y2C.8-4=1 x2y2B.8-12=1 x2y2D.4-6=1 ―→―→?2cb?解析:选D 不妨设B(0.b).由BA=2AF.F(c.0).可得A?3,3?.代入双??4c21曲线C的方程可得9×a2-9=1. b23∴a2=2.① ―→又|BF|= b2+c2=4.c2=a2+b2. ∴a2+2b2=16.② 由①②可得.a2=4.b2=6. x2y2∴双曲线C的方程为4-6=1.故选D. 3.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6.则抛物线的标准方程为____________________. 解析:因为抛物线y2=2px(p>0)上一点到抛物线对称轴的距离为6.若设该点为P.则P(x0.±6). 5 / 16 ?p?因为P到抛物线焦点F?2,0?的距离为10. ??p根据抛物线的定义得x0+2=10.① 因为P在抛物线上.所以36=2px0.② 由①②解得p=2.x0=9或p=18.x0=1. 所以抛物线的标准方程为y2=4x或y2=36x. 答案:y2=4x或y2=36x 考点二 圆锥曲线的性质 x2y2[例2] (1)(20xx·全国卷Ⅱ)已知F1.F2是椭圆C:a2+b23=1(a>b>0)的左、右焦点.A是C的左顶点.点P在过A且斜率为6的直线上.△PF1F2为等腰三角形.∠F1F2P=120°.则C的离心率为( ) 2A.3 1C.3 1B.2 1D.4 x2y2(2)(20xx·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:a2-b2=1(a>0.b>0)的左、右焦点分别为F1.F2.过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A―→―→―→―→.B两点.若F1A=AB. F1B·F2B=0.则C的离心率为________. x2y2(3)已知双曲线a2-b2=1(a>0.b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A.B两点.O为坐标原点.若双曲线的离心率为5.△AOB的面积为2.则p=________. [解析] (1)如图.作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|=|PF2|=2.则c=1.由∠F1F2P=120°.可得|PB|=3.|BF2|=1.|PB|33故|AB|=a+1+1=a+2.tan ∠PAB=|AB|==6.解得a+2c1a=4.所以e=a=4.故选D. 6 / 16 ―→―→(2)法一:因为F1B·F2B=0.所以F1B⊥F2B.在Rt△F1BF2中.|OB|=―→―→|OF2|.所以∠OBF2=∠OF2B.又F1A=AB.所以A为F1B的中点.所以OA∥F2B.所以∠F1OA=∠OF2B.又∠F1OA=∠BOF2.所以△OBF2为等边三角形.如图①.由F2(c.0)可b3bc?c3c??.因为点B在直线y=ax上.所以2c=a·2.所得B?,2??2b以a=3.所以e= b21+a2=2. ―→法二:∵ ―→F1B·F2B=0. ∴ ∠F1BF2=90°. 在Rt△F1BF2中.O为F1F2的中点.∴ |BH||OF2|=|OB|=c.如图②.作BH⊥x轴于H.由l1为双曲线的渐近线.可得|OH|b=a.且|BH|2+|OH|2=|OB|2=c2.∴ |BH|=b.|OH|=a. ∴ B(a.-b).F2(c.0). ―→―→又∵ F1A=AB.∴ A为F1B的中点. bb∴ OA∥F2B.∴ a=c-a. c∴ c=2a.∴ 离心率e=a=2. b2(3)不妨设A点在B点上方.由双曲线的离心率为5.得1+a2=e2=5.解得bb=2.所以双曲线的两条渐近线方程为y=±x=±2x.又抛物线的准线方程为x=aap?p??p?-2.则交点的坐标为A?-2,p?.B?-2,-p?.所以|AB|=2p.由△AOB的面积为????1p1p2.得2|AB|·2=2.即2×2p×2=2.解得p=2. [答案] (1)D (2)2 (3)2 [解题方略] 7 / 16 1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围.关键是根据已知条件确定a.b.c的c等量关系或不等关系.然后把b用a.c代换.求a的值. 2.双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零.分解因式可得. ba(2)用法:①可得a或b的值. ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. [多练强化] x2y21.(20xx·全国卷Ⅱ)双曲线a2-b2=1(a>0.b>0)的离心率为3.则其渐近线方程为( ) A.y=±2x 2C.y=±2x B.y=±3x 3D.y=±2x a2+b2c解析:选A ∵e=a==3. a∴a2+b2=3a2.∴b=2a. ∴渐近线方程为y=±2x.故选A. x2y22.(20xx·××市模拟考试)设F1.F2分别是椭圆E:a2+b2―→―→―→=1(a>b>0)的左、右焦点.过F2的直线交椭圆于A.B两点.且AF1·AF2=0.AF2―→=2F2B.则椭圆E的离心率为( ) 2A.3 5C.3 3B.4 7D.4 解析:选C 设|BF2|=m.则|AF2|=2m.连接BF1.由椭圆的定义可知|AF1|―→―→=2a-2m.|BF1|=2a-m.由AF1·AF2=0知AF1⊥AF2.故在Rt △ABF1中.(2a 8 / 16

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