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第七章 多元函数微分学
一、内容分析与教学建议
（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。
在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续
先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点P?P0方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分
1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。
2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断z?f(x,y)可微，即求极限lim否为0。
3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dz??z?zx(x,y)?x?zy(x,y)?y??x?0?y?0??是
?z?zdx?dy之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存?x?y在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导
1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形z?f(u,v)，u??(x)，v??(x)从中让学生理解口诀的含义。
2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；
3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意
??等之涵义。 ① 求导时，注意分析函数的各种关系；② 讲透符号f1?，f12（五） 隐函数求偏导
1、结合简单例子，讲解方程与函数之关系；
2、对于F(x,y)?0确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；
3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。 （六） 方向导数与梯度
从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。 （七） 多元函数微分学应用 1、几何应用：
（a） 通过割线及到切线概念，从而得到切线方程；
（b） 曲面?上任一点M处的任何曲线，若M处切线均在一个平面上，从而引入切
平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用；
（c） 可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。 2、极值
① 与一元函数类比，讲述二元函数极值的必要和充分条件； ② 求极值问题一般分为两种情况：a无条件条件; b条件极值。
从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法”，讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解。
二、补充例题
例1.
设u?f(x,y)，?x2,ey,z?0，y?sinx，其中?都具有一阶连续偏导数，且
????du?0，求. ?zdx解： 分别求偏导数得：
dydz?dy?f?f?fxyz?dxdxdx?dz?ydy?????2x???e????0?123dxdx??dy?dx?cosx?(3)代入（2）
(1)(2) (3)????dy??2x1?cosx?ey2
??dx?3?3?????1dyy?2??fx?fycosx?fy??2x?cosx?e?? ??dx??33???fx?fycosx?fz??esinxcosx?2? 2x?1??3(3)代入（1）
??例2.
设z(x,y)是由方程f(y?x,yz)?0，确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，
?2z求2. ?x解： 方程两边对x求偏导
f1?(?1)?f2??yf??z?z?0，?1 ?x?xyf2??z??z?????????????f(?1)?fy?yf?f?yf(?1)?yf?y????1112212122?2z??x??x??
?2?x2yf2???代入上式并整理得：
2???2f1?f2?f3???f1??2f22???2z??f2??f11 ?3?x2?y?f2?例3.
设直线L： ??x?y?b?022在平面?上，而平面?与曲面z?x?y相切于
?x?ay?y?3?0点(1,?2.5)，求a，b的值.
解： 在点(1,?2.5)处曲面法向量n?[2,?4.?1]，于是切平面方程为： 2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0
即 2x?4y?z?5?0
由L： ??x?y?b?0?y??x?b ???x?ay?y?3?0?z?x?3?a(?x?b) ?2x?4x?4b?x?3?ax?ab?5?0 因而有： 5?a?0 4b?ab?2?0 a??5 b??2
例4.
已知椭球面x2?y2?z2?xy?yz?a2，(a?0)，①求椭球面上z坐标为最大与最小点；②求椭球面的xOy面上投影区域的边界曲线.
解： 由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上z坐标最大与最小点一定存在，且此二点
处z值就是椭球面方程所确定隐函数z?z(x,y)的最大值与最小值. 椭球面方程两边分别对x及y求偏导：
?z?z?2x?2z?y?y?0??x?x? ??z?z?2y?2z?x?y?z?0??y?y?令
?z?z?0，?0， ?x?y?2x?y?0 ?2y?x?z?0?ab
解得：y??2x，z?3x，代入椭球的方程得到x??故得两点 P1???a?a2a?3a??2a3a?，,?P,,?2?????
bb?bbb??b?,由于椭球面确定存在z坐标最大与最小的点，因此点P1与P2为所求.
② 设S是椭球面对于xOy面投影柱面S与椭球面切于曲线C，则C在上，两曲面的
法向量相同都为
?n??2x?y,2y?x?z,2z?y?