发布时间 : 星期二 文章高考数学真题——坐标系与参数方程更新完毕开始阅读
?x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则
t1?t2?0．
又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率21?3cos?k?tan???2．
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
11（1）设P的极坐标为?，?????＞0?，M的极坐标为??，????＞0?，由题设知
OP=?，OM=?1=4 cos?由OMgOP=16得C2的极坐标方程?=4cos??＞0
2因此C2的直角坐标方程为?x?2??y?4?x?0?
2??（2）设点B的极坐标为?B，?????＞0?,由题设知
BOA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积
S=1OAg?Bgsin?AOB2????4cos?gsin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-?12
3时，S取得最大值2+3
所以△OAB面积的最大值为2+3
在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是{求l的斜率。
【答案】（Ⅰ）??12?cos??11?0；（Ⅱ）?【解析】
试题分析：（I）利用??x?y，x??cos?可得C的极坐标方程；（II）先将直线l的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l的斜率．
试题解析：（I）由x??cos?,y??sin?可得C的极坐标方程??12?cos??11?0. （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为???(??R) 由A,B所对应的极径分别为?1,?2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
22222??=??cos??，,l与C交于A、B两点，（t为参数）∣AB∣=√10，??=??sin??，15. 3?2?12?cos??11?0.
于是?1??2??12cos?,?1?2?11,
|AB|?|?1??2|?(?1??2)2?4?1?2?144cos2??44,
2由|AB|?10得cos??315,tan???， 83所以l的斜率为
1515或?. 33考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.
?x?2cost,已知动点P，Q都在曲线C：?(t为参数)上，对应参数分别
y?2sint?为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的轨迹的参数方程为??x?cos??cos2?,(α为参数，0＜α＜2π)．
y?sin??sin2??(2)M点到坐标原点的距离
d?x2?y2?2?2cos?(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
?x?cos?，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?（?为参数），过点
y?sin???0，?2?且倾斜角为?的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求?的取值范围；学.科网 （2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
22解析】（1）eO的直角坐标方程为x?y?1．
当???时，l与eO交于两点． 2当???时，记tan??k，则l的方程为y?kx?2．l与eO交于两点当且仅当2|?????|?1，解得k??1或k?1，即??(,)或??(,)．
42241?k22综上，?的取值范围是(,???)． 44?????x?tcos?,(t为参数，???)． （2）l的参数方程为?44??y??2?tsin?设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP?tA?tB，且tA，tB满足2t2?22tsin??1?0．
于是tA?tB?22sin?，tP?2sin?．又点P的坐标(x,y)满足
??x?tPcos?, ?y??2?tsin?.??P?2x?sin2?,?????2(?为参数，???)． 所以点P的轨迹的参数方程是?44?y??2?2cos2???22
?x?2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为参数），直线l2的参数方程
y?kt,??x??2?m,?为?．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my?,?k?（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径． 解：
（1）消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?；消去参数m得l2的普通方程