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实数全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平方根和立方根 类型 项目 被开方数 符号表示 平方根 非负数 立方根 任意实数 3?a 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； a 性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； (a)2?a(a?0)重要结论 (3a)3?a33?a(a?0) a?a????a(a?0)2a3?a?a??3a
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：
1
实数??有理数：有限小数或无限循环小数?无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
??正有理数?正数??正无理数?? 实数?0
?负有理数?负数????负无理数? 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其
中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形
式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即a≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a?0 (a?0).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：
数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反
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而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】
类型一、有关方根的问题
1、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
【思路点拨】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a=0，进而求出a的值，即可得出x的值． 【答案与解析】
解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a=0， 解得：a=﹣2， ∴2a﹣3=﹣7，
∴x=（﹣7）2=49．
【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知y?【答案】
解：由题意得：
x?2?2?x?3，求yx的平方根。
?x?2?0 解得x＝2 ??2?x?0∴y＝3，y?3?9，y的平方根为±3.
【变式2】若33x?7和33y?4互为相反数,试求x?y的值。 【答案】
解：∵33x?7和33y?4互为相反数, ∴3x－7＋3y＋4＝0
∴3（x?y）＝3，x?y＝1.
2、已知M是满足不等式?3?a?6的所有整数a的和，N是满足不等式x?的最大整数．求M＋N的平方根． 【答案与解析】 解：∵?3?a?x2x37?226的所有整数有－1，0，1，2
所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵x? ∴N＝2
37?237?2≈2，N是满足不等式x?的最大整数． 223
∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.
【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根． 类型二、与实数有关的问题
3、已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，求??a???b?3?的值． 【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算10的整数部分是3，那么它的小数部分就是10?3，再代入式子求值. 【答案与解析】
解：∵a是10的整数部分，b是它的小数部分，3?10?4
∴a?3,b?10?3 ∴??a???b?3????3??32332?10?3?3?2??27?10??17.
【总结升华】可用夹挤法来确定，即看10介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分. 举一反三：
【变式】 （2015?杭州）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D． 解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．
4、阅读理解，回答问题.
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.
例如：在比较m?1与m的大小时，小东同学的作法是： ∵m2?1?m2?m2?1?m2?1 ∴m?1?m
2请你参考小东同学的作法，比较43与(2?3)的大小.
22????22【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小. 【答案与解析】 解：∵43?2?3??2?43?(4?43?3)??7?0
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