发布时间 : 星期日 文章高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第六章 6.2更新完毕开始阅读
§6.2 等差数列及其前n项和
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan＋qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak＋m,ak＋2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (6)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…构成等差数列.
(7)若{a是等差数列,则??Sn?n}1
?n??
也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差为2d.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{ad,其前n项和Sn?a1＋an?n?n－1?
n}的公差为n＝2或Sn＝na1＋2d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d
2
n2＋??a1－d2??n. 数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A,B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1＞0,d＜0,则Sn存在最大值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最小值.
概念方法微思考
1.“a,A,b是等差数列”是“A＝a＋b
2”的什么条件？
提示 充要条件.
2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定.当公差d＝0时,Sn＝na1,不是关于n的二次函数.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
( (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ ) 题组二 教材改编
)
×2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6＝2且S5＝30,则S8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34 答案 B
??a1＋5d＝2，
解析 由已知可得?
?5a1＋10d＝30，?
?a＝3，解得?4
d＝－?3，
1
26
8×7
∴S8＝8a1＋d＝32.
2
3.在等差数列{an}中,若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450,则a2＋a8＝________. 答案 180
解析 由等差数列的性质,得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450,∴a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180. 题组三 易错自纠
1
4.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是
25( ) 8A.d＞
7583C.＜d＜ 7525答案 D
?a10>1，?解析 由题意可得?即
?a≤1，?9
3
B.d＜ 2583D.＜d≤ 7525
??1
?25＋8d≤1，
1
＋9d>1，25
83
所以＜d≤.故选D.
7525
5.(多选)设{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5＜S6,S6＝S7＞S8,则下列结论正确的是( ) A.d＜0 C.S9＞S5 答案 ABD
解析 S6＝S5＋a6＞S5,则a6＞0,S7＝S6＋a7＝S6,则a7＝0,则d＝a7－a6＜0,S8＝S7＋a8＜S7,a8＜0.a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0,∴S5＝S9, 由a7＝0,a6＞0知S6,S7是Sn中的最大值. 从而ABD均正确.
6.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0,a7＋a10＜0,则当n＝____时,{an}的前n项和最大. 答案 8
B.a7＝0
D.S6与S7均为Sn的最大值