发布时间 : 星期六 文章【精品资料】高中数学教学案例设计汇编更新完毕开始阅读
研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.
设计意图：
从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！
师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：
把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠ MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM =x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：
y O · P(x,y) M x sinα=
（图2） 设计意图：
邻边x对边yy，conα==，tanα==
斜边r斜边r邻边xrxr ?= ?= ?=
yyx对边=
此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.
（情景3）思考：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上的位置的改变而改变呢？
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显然，我们可以将点取在使线段OP的长r?1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
MP?bOPOM?aOPa的终边 P(x,yy sin??; cos??;
O x tan??MPb?. OMa思考：上述锐角?的三角函数值可以用终边上一
点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识， 探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是 确定的，不会随P在终边上的移动而变化.
三、探究新知
1.探究:结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做?的正弦(sine),记做sin?,即sin??y； （2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,即cos??x；
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α y P ·O P′ M M′x （图3）
yy（3）叫做?的正切(tangent),记做tan?,即tan??(x?0).
xx注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；
当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三角函数值.
设计意图：
初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念.
四、探索定义域
（情景4）1、函数概念的三要素是什么？ 函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数sinα的对应法则是什么？
正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→ y/r= sinα. 2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：
三角函数
sinα
cosα
定义域
引导学生自主探索：
如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.
关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.
对于tanα=y/x，α= kπ+π/2 时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kπ+π/2 }. ? ? ?
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tanα
教师指出: sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟。
设计意图：
定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握. 五、符号判断、形象识记
（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：
sinα= y/r：上正下负横为0 cosα=x/r：左负右正纵为0 tanα=y/x：交叉正负 设计意图：
判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. 六、练习巩固、理解记忆
5?的正弦、余弦和正切值。 32、角α的终边经过点P（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.
＋ －
y ＋ －
x － －
y ＋ ＋
x － ＋
y ＋ －
x 1、 自学 例1：求
课堂练习：
p17题1、2、3
处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义. 强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经
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