发布时间 : 星期六 文章高中数学第3章第10课时基本不等式的证明(1)学案(学生版)新人教A版必修5更新完毕开始阅读
3.4基本不等式的证明(1)
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算术平均数和几何平均数 内容及证法 基本不等式 几何解释 变形及证明其它不等式
学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.
【课堂互动】 自学评价
算术平均数： 几何平均数
a+b设a≥0,b≥0则2与ab的关系为
基本不等式的证明方法：
【精典范例】
a+b3例1．.设a、b为正数, 求证明：2ab
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．
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a+b32３．把不等式
ab (a≥0,b≥0)称为基本不等式
学习札记
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦． 例2. 利用基本不等式证明下列不等式：
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已知a>0,求证 a+a
(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .
111-1)(-1)(-1)>8yz(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (x
点评：1..基本不等式的变形公式：
22a+b澄2ab(a,bR) (1)
a2+b2abＮ(a,b2(2)
(3) a+b澄2ab(a,bR)
R+)
R+)
abＮ((4)
a+b2)(a,b22.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式． ３．注意严格不等式的证明方法． 思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥
n0(i=1,2,…,n),则a1a2鬃祝ana1+a2+鬃?ann(n>1,n?N)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．
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（１）２与８ （２）３与１２ （３）Ｐ与９Ｐ
（４）２与２p2
1２．已知a>1求证a+a-1≥3
1３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥3
【师生互动】1 1４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: a?1b ?c?a?b?c．
学生质疑
教师释疑 - 3 -