发布时间 : 星期四 文章2020年北师大版数学七年级下册《期末考试题》（附答案解析）更新完毕开始阅读
故答案为：35，±5，±175
【点睛】本题考查因式分解相关问题，涉及到完全平方公式和平方差公式，解答时注意按照题意构造等式.
24.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF． （1）若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． ②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．
（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由详见解析；②成立，理由详见解析；（2）CF⊥BD，理由详见解析． 【解析】 【分析】
（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边“证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边“证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD. 【详解】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下： ∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠CAF＝∠BAD，
?AB?AC?在△ACF和△ABD中，??CAF??BAD ，
?AD?AF?∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠FCB＝90°， ∴CF⊥BD；
②成立，理由如下：如图2： ∵∠CAB＝∠DAF＝90°，
∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD， 即∠CAF＝∠BAD，
?AB?AC?在△ACF和△ABD中，??CAF??BAD ，
?AD?AF?∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF＝BD，∠ACF＝∠B， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°， ∴CF⊥BD；
（2）如图3，
过点A作AE⊥AC交BC于E， ∵∠BCA＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC＝AE，∠AED＝45°，
∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°， ∴∠CAF＝∠EAD，
?AC?AE?在△ACF和△AED中，??CAF??EAD ，
?AD?AF?∴△ACF≌△AED（SAS）， ∴∠ACF＝∠AED＝45°，
∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°， ∴CF⊥BD．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同