发布时间 : 星期五 文章固体物理第二章答案更新完毕开始阅读
????12???6?12.雷纳德一琼斯为u(r)?4????????,
?r?????r??证明:r=1.12?时势能最小,且 u(r)???;当r=?时, u(r)?0说明? 和? 的物理意义. [解答]当r?r0时u(r)取最小值u(r0),由极值条件
??12?6??du? ??1213?67??0 ?0得 4?????r0r0??dr?r?r0?于是有 r0?216??1.12?
再代入u的表示式得
????12???6?u(r0)?4????r?????r?????0????0??,
?11??4????????42?当 r=?时则有
????12???6? u(?)?4?????????0,
??????????由于u(r0) 是两分子间的结合能,所以?即是两分子处于平衡时的结合能,?具有长度的量纲,它的物理意义是, ?是
互作用势能为0时两分子间的间距.\\
13.如果离子晶体中离子总的相互作用势能为
??q2? U(r)??N??Z?e?r??,
?4??0r?求晶体的压缩系数,其中?,?为常数,Z为配位数.
[解答]压缩系数k等于体积弹性模量K的倒数,即k?2R0又 K? 9V0??2U????R2????R01. K2??q2NR0Z??R0????e??. 329V0?2??0R0??式中R0为平衡时相邻原子间的距离,由平衡条件
??q2Z??R0????U? ?,得 ?0N?e????0, 32??R?R0?2??0R0????q2?R0?即e. ?2??0Z?R0由以诸式得 k=?9V020??q2Z??R0??NR??e?322??R?00??14.取一?x?y?z立方体积元,以相对两面中点连线为转轴,列出转动方程,证明应力矩阵是一个对称矩阵.
[解答]
如图2.21所示,在弹性体内取一立方体积元,体积元边长分别为?x,?y,?z,C点的坐标是x,y,z .对于以前后两面中心AB为转轴的转动,上下表面上的应力Tyx形成了力偶,左右两表面上的应力 Txy也形成了力偶,体积元绕 AB轴转动的转动方程为
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?18??0V0.
?11?N?q2???2?R??0??
(Tyz??IAB?Tyz?y2?y)?x?y?Tzy?z?z?z?y?Tyz?x?y?(Tzy??y)?x?z?Tzy?x?z22?y22??AB?t2,
图2.12 正方体积元六个面上的应力
基中?AB是体积元绕AB轴转动的转动角, IAB是体积元绕 AB 轴转动的转动惯量,其值为
?(?y)2(?z)2? IAB???x?y?z??12?12??.
??由上式可知,当?x,?y,?z趋于0时,转动惯量IAB更快地趋于0,于是转动方程化为
?Tyz??Tzy????? ?Tyz??y??Tyz??Tzy??y??Tzy?0 ???y?y????因为应力的梯度不能突变,所以当 趋于 时,由上式可得
Tyz?Tzy 同理可得
Txz?Tzx,Txy?Tyx. 由此可知,应力矩阵
?Txx? ?Tyx?Tzx?TxyTyyTzyTxz??Txx??Tyz???Txy?Tzz???TxzTxyTyyTyzTxz??Tyz?. Tzz??1(c11?c22),c33,其他常数为零,取a轴与x2是一个对称矩阵
15.六角晶体有5个独立的弹性劲度常数c11?c22,c23?c13,c55?c44,c66?轴重合,取c轴为z轴,弹性波在xy平面内(任意方向)传播,试求 (1) 三个波速;
(2) 对应三种模式的质点的位移方向 [解答]
按照已知条件,六角晶体的弹性劲度常数矩阵为
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??c11c12c13000??c12c11c13000???c13c13c33000???000c4400?,c66?(c11?c12). ???0000c440???00000c?66??弹性波的传播方向单位矢量
I?lxi?lyj,
且有 l22x?ly?1.
同《固体物理教程》(2.70)式可求得克利斯夫(Christoffel)方程
?2 ?cc211lx?66ly?c(c12?c66)lxly0??Vx??(c12?c66)lxlyc22?c0????V?11lx?c66ly?0. ?00c?y?44?c????Vz??由质点速度Vx,Vy,Vz的系数行列式的值
c2?c211lx66ly?c(c12?c66)lxly0 (c12?c66)lxlyc2?c211lx66ly?c0?0
00c44?c得到
c2?(c11?c66)c?c11c66?0, c44?c?0.
由以上两式得到三个有效弹性常数 c1?c11,c2?c66,c3?c44. 将c1代入克利斯托夫方程得
(c66?c11)lyVx?(c12?c66)lxVy?0, (c12?c66)lyVx?(c66?c11)lxVy?0,
Vz?0.将c166?2(c11?c12)代入前两式,得到
VxlV?x.
yly如图2.13所示,设传播方向与x轴夹角为?,则有cos??lx,sin??ly于是得到VxV?lx?cot?. yly
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图 2.13波的传播方向与质点运动方向平行
即传播方向就是质点运动的方向,也就是说,对应c1是一纵波. 将c2代入克利斯托夫方程,得
(c11?c66)lxVx?(c12?c66)lyVy?0,(c12?c66)lxVx?(c11?c66)lyVy?0, Vz?0.1(c11?c22)代入前两式,得到 2lyVx ??.
Vylx将c66?上式对应的几何图像如图2.14所示,由图2.14可知,传播方向与质点运动的方向垂直,也就是说,对应c2一横波
图2.14波传播方向与质点运动方向垂直 将c3代入克利斯托夫方程,得
2(c11lx2?c66ly?c44)Vx?(c12?c66)lxlyVy?0,22(c12?c66)lxlyVx?(c11ly?c66lx?c44)Vy?0,
(c44?c44)Vz?0.前两式Vx和Vy的系数行列式的值等于,
2 c11c66?c44c66?c11c44?c44?(c11?c44)(c66?c44).
因为c11?c44,c44?c66,所以Vx和Vy的系数行列式的值不为0,即前两式中Vx和Vy的解必须都为0,因此,对应c3,质点速度只有Vz?0,显然,这也是一个横波,质点运动的方向与传播方向垂直.
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