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第2章晶体的结合
习 题 1. 有一晶体,平衡时体积为 V0， 原子间相互作用势为U0.如果相距为 r的两原子互作用势为 u?r???arm??rn 证明
(1) 体积弹性模量为 K=Umn09V. 0(2) 求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.
[解答]设晶体共含有 N个原子,则总能量为
U(r)=1'2??u?rij?. ij由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为 U=N2?'u?rij?. j设最近邻原子间的距离为R则有rij?ajR
再令 A?'1N??Am?An?m?jam,An??'1n,得到 U=jjaj2???m?Rn?. ?R00??平衡时R=R0,则由已知条件U(R0) = U0 得
N???A??m??An?2RmRn???U0
?00?由平衡条件 dU(R)dR?0
R0得
N??m?Am?n?An?2?n?1?0. ?Rm?10R0???由(1),(2)两式可解得
?A2U0m?nRm0, N(m?n)?A?2U
0nm?n)nRnN(0.利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]
2 K=R0?9V???0??2U?得K= 1N?m(m?1)?Amn(n?1)???R2?9V2??m?An?n? R00?R0R0?= 1N?m(m?1)2Um0nR0n(n?1)2Un0mR0?mn9V???n?= ?U002?Rm0N(m?n)R0N(m?n)?9V. 0由于U 因此Umn0?0,0??U0, 于是 K= U09V.
0(1) 由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为
1
u(r)??AB?.若令 r6r1216A2?B? ??,????,则N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为
4B?A?6????12???? U(r)?2N??A12???A6???.
?R????R???dU(R)由平衡条件
dRR0?2A12?0可得 R0????A?62?N?A6??.进一步得 U0?U(R0)??2A. ?1261?A633?4N3mn?A代入K=U0R0得 K=.并取 m=6，n=12，V0?12?39V02?33?A1270.1?. 对体心立方晶体有 A6?12.25,A12?9.11.于是K?3????52.
?2. 一维原子链,正负离子间距为a,试证:马德隆常数为??21n2. [解答] 相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成
q2b u(rij)???n.
4?rijrij设最近邻原子间的距离为R 则有 rij?ajR, 则总的离子间的互作用势能 U=N2?j'u?rij?????1Nq'??1?[?n???24??0Rj?aj?R?j'b. naj基中 ???j'?1 aj为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有
x2x3x4(?1)?1111?????, ????2???????.利用正面的展开式 1n(1+x)x?234aj?1234?j1111并令 x?1 得?????=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为??21n2
12343. 计算面心立方面简单格子的A6和A12
'(1) 只计最近邻; (2) 计算到次近邻; (3) 计算到次近邻.
[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O 的最近邻标号为2的原子是O 原子的最近邻,标号为3的原子是O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:aj?1,aj?2,aj?3. 由 ???,A12??'?1??aj??j6?'?1 A6???aj?j??. ??12 2
图2.6 面心立方晶胞
得
?1??1?(1) 只计最近邻时A6(1)?12*???12， A\\12(1)?12*???12.
?1??1?(2) 计算到次近邻时
612
?1??1?A6(2)?12*???6*???12.750,1???2??1??1?A12(2)?12*???6*???12.094.1???2?121266
(3) 计算到次次近邻时
?1??1??1?A6(3)?12*???6*???12.750?0.899?13.639,??24*????1??2??3?121212666?1??1??1?A12(3)?12*???6*???12.094?0.033?12.127.??24*????1??2??3?中的幂指数较大,A12收敛得很快,而A6 中的幂指数较小,因此 A6 收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的 A6和 A12 的数值分别是14.45与12.13.
4. 用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数. [解答]马德隆常数的定义式为 ??由以上可以看出,由于A12
?j'?1,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子aj(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图 2.7示出了一个埃夫琴晶胞.设参考离子O为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为
图2.7二维正方离子晶格
4*
112.
4*14.因此通过一个埃2顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4), 对参考离子库仑能的贡献为 ?4*夫琴晶胞算出的马德隆常数为 ??
114*2?4?1.293.再选取22?4个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子123
O 的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为
44?,而边棱上的离子对库仑能的贡献为 124*?118*2?2, 254*14,这时算出的马德隆常数为 8顶角上的离子对为库仑能的贡献为 ?
图 2.8 4个埃夫琴晶胞
2
同理对3?9个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为
1111??4*8*8*4*??4???44??482?2?2?4??1.611 ??????????????2??258??3101318??1????2对 4?16个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为
4??4884??44??48??????????????????2??3?1258101318??????
11111??4*8*8*8*4*??22224??1.614???????4?10172532?????2
当选取 n个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1 晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为 ??4?An?1?Bn??8?Cn?1?Dn?,n?1.
1An?1??(?1)t?1,tt?1其中
1Bn?(?1)n?1,2n???111????Cn?1?????22?22222?12?21?1??22?2n?1??????11????????(n?1)2?(n?2)2?2(n?1)2?(n?1)2????,1??(?1)n?1?22??(n?1)?1??111Dn??????(?1)n.
2222228n?n2n?(n?1)2n?1
4