殷都区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学

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精选高中模拟试卷

△POQ面积S=|OA||y1﹣y2|=2令t=

(0

,则S=2

≤1(当且仅当t=时取等号)

所以,△POQ面积的最大值1. …

20.【答案】

【解析】(I)解:∵点(an,Sn)在y=∴当n≥2时,∴

当n=1时,∴

=,化为

,解得a1=.

=

=2n+1,

x的图象上(n∈N*),

(2)证明:对任意正整数n都有

∴cn=(cn﹣cn﹣1)+(cn﹣1﹣cn﹣2)+…+(c2﹣c1)+c1 =(2n﹣1)+(2n﹣3)+…+3 =

∴当n≥2时,∴

=,

又∴

=.

==

=(n+1)(n﹣1).

=

+…+

=

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

21.【答案】

【解析】(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2,用频率估计相应的概率可得

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精选高中模拟试卷

P(A1)=0。1+0。2+0。3=0。6,P(A2)=0。1+0。4=0。5,

P(A1) >P(A2), P(B2) >P(B1),

甲应选择Li 乙应选择L2。

P(B1)=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8,P(B2)=0。1+0。4+0。4=0。9,

(2)A,B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知

,又由题意知,A,B独立,

22.【答案】

【解析】解:(1)∵B的坐标为(0,1),且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上, ∴A点的横坐标为﹣1, 代入椭圆方程

+y2=1,解得y=±

,故点A(﹣1,)或(﹣,﹣

)或点A(﹣1,﹣).

)、

).

∴线段AB的中点M(﹣, +

(2)由于F1(﹣1,0),F2(1,0),当AB垂直于x轴时,AB的方程为x=﹣,点A(﹣,﹣B(﹣,求得

?

), =

当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),A(x1,y1 ),B (x2,y2),

由可得 (x1+x2)+2(y1+y2)?

=0,∴﹣1=﹣4mk,即 k=,

故AB的方程为 y﹣m=再把①代入椭圆方程

(x+),即 y=+y2=1,可得x2+x+?

x+ ①.

=0.

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精选高中模拟试卷

由判别式△=1﹣>0,可得0<m<.

2

∴x1+x2=﹣1,x1?x2=∴

?

,y1?y2=(?x1+ )(x2+ ), .

=(x1﹣1,y1 )?(x2﹣1,y2)=x1?x2+y1?y2﹣(x1+x2)+1=

?

=

= [3t+].

2

令t=1+8m,则1<t<8,∴

再根据 [3t+]在(1,)上单调递减,在(

).

,8)上单调递增求得 [3t+]的范围为[,).

综上可得, [3t+]的范围为[

【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,两个向量的数量积公式的应用,直线和二次曲线的关系,考查计算能力,属于难题.

23.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)设椭圆的方程为

椭圆C两焦点坐标分别为F1(﹣1,0),F2(1,0). ∴

2

∴a=2,又c=1,b=4﹣1=3,

,由题意可得:

故椭圆的方程为.

(Ⅱ)当直线l⊥x轴,计算得到:

当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为:y=k(x+1), 由

2222

,消去y得(3+4k)x+8kx+4k﹣12=0

,不符合题意.

显然△>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则

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精选高中模拟试卷

又即

又圆F2的半径所以

42

化简,得17k+k﹣18=0,

22

即(k﹣1)(17k+18)=0,解得k=±1

, ,

所以,,

22

故圆F2的方程为:(x﹣1)+y=2.

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,椭圆与圆的关系.考查了学生综合运用所学知识,创造性地解决问题的能力.

24.【答案】(1)证明过程如解析;(2)对于正数a,存在正数p,使得当x?0,p时,有?1?f?x??1;(3)g?a?的最大值为3

【解析】【试题分析】(1)先对函数f?x??x3???3?1?a?x2?3ax?1,a?0进行求导,再对导函数的值的 2符号进行分析,进而做出判断;(2)先求出函数值

1312f?0??1,f?a???a3?a2?1??1?a??a?2??1,进而分f?a???1和f?a???1两种情形进行

222分析讨论,推断出存在p??0,a?使得f?p??1?0,从而证得当x??0,p?时,有?1?f?x??1成立;(3)

借助(2)的结论:f?x?在0,???上有最小值为f?a?,然后分0a?1,a1两种情形探求g?a?的解析表达式和最大值。

证明:(1)由于f??x??3x?3?1?a?x?3a?3?x?1??x?a?,且a?0,

2?故f?x?在0,a上单调递减,在a,???上单调递增. ???第 16 页,共 17 页

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