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幂级数专题训练
解题策略4 利用幂级数的求和公式
利用幂级数的求和公式求数列的极限，其原理是： 设有幂级数
?an?1?n，则xn，我们想办法求出其和函数S(x)（怎样求和函数见注解）
?an?1?nx?S(x)，即?anxn?a1x?a2x2?...?anxn?...?S(x)，令x?x0，则有
nn?1?2na1x0?a2x0?...?anx0?...?S(x0)，
而 a1x0?a2x0?...?anx0?...?lim(a1x0?a2x0?...?anx0)，
n??2n2n于是 lim(a1x0?a2x0?...?anx0)?S(x0)，
n??2n即无穷多项相加的数列的极限求出了。
注解 怎样求幂级数
?an?1?nxn的和函数S(x)呢？一般来说，有这几种情况：
（1）若
?an?1?nxn是等比级数，则利用等比数列的求和公式即可；
2462n2例如：级数1?x?x?x?...?x?..是公比为q?x的等比级数，因此其和为
1?x2?x4?x6?...?x2n?..?12，且q?x?1； 21?x注意求等比级数的和时，一定要注明公比属于?1和?1之间。 （2）若
?an?1?nxn不是等比级数，但将其逐项求导后是等比级数，则先求导变成等比级
数求出和函数，再通过积分变回原级数的和函数。
2n?1x3x5x7n?1x???....?(?1)?...不是等比级数，但将其求导后例如，级数x?3572n?1有1?x?x?x?...?(?1)比级数的求和公式有
246n?1x2n?2?...是一个公比为q??x2的等比级数，于是依据等
1?x2?x4?x6?...?(?1)n?1x2n?2?...?于是两边积分有
12，且q??x?1（即x?1）， 21?x
?x0[1?x?x?x?...?(?1)246n?1x2n?2?...]dx??1dx，
01?x2x2n?1xx3x5x71n?1xx???....?(?1)?...??dx?arctanx0?arctanx，且即有x?201?x3572n?1x?1。
（3）若
?an?1?nxn不是等比级数，但将其逐项积分后是等比级数，则先积分变成等比级
数求出和函数，再通过求导变回原级数的和函数。
例如，级数1?2x?3x2?4x3?...?(?1)n?1nxn?1?..不是等比级数，但将其积分后变为x?x2?x3?x4?...?(?1)n?1xn?...是公比为q??x的等比级数，于是根据等比级数的求和公式有
x,且x?1， 1?xx234n?1n)?， 因此两边求导有 [x?x?x?x?...?(?1)x?...]??(1?xx?x2?x3?x4?...?(?1)n?1xn?...?得 1?2x?3x2?4x3?...?(?1)n?1nxn?1?..?1，且x?1。
(1?x)2（4）若
?an?1?nxn不是等比级数，但将其逐项求导或逐项积分后都不会变为等比级数，
于是要先将其进行恒等变形（如提取公因子等），然后求导或积分变为等比级数，再通过积分或求导还原成原级数。
23n例如，级数若x?2x?3x?...?nx?..不是等比级数，将其求导后或积分后都不是
等比级数，于是在级数中先提取公因子，有
x?2x?3x?...?nx?..?x?(1?2x?3x?...?nx23n2n?1?...，)
2n?1而级数1?2x?3x?...?nx?...通过积分后就是等比级数，即积分后有
x?x2?x3?...?xn?...，
23.xn?..?.于是依据求和公式有 x?x?x?..?x，且x?1， 1?x将其两边求导后有 1?2x?3x2?...?nxn?1?...?(x1，且x?1， )??1?x(1?x)2于是原级数的和函数为
x?2x2?3x3?...?nxn?..?x?(1?2x?3x2?...?nxn?1?...?)（5）利用展开式公式：
x，且x?1。
(1?x)2ex?1?x?121x?...?xn?...,2!n!(x???)
sinx?x?13151x?x?...?(?1)nx2n?1?...,3!5!(2n?1)!12141x?x?...?(?1)nx2n?...,2!4!(2n)!(x???)
cosx?1?(x???)
1213141x?x?x?...?(?1)n?1xn?...,(?1?x?1) 234n?(??1)2?(??1)L(??n?1)n(1?x)??1??x?x?...?x?...,(x???)
2!n!111??...?)。 例1 求lim(n??1?22?22n?2nln(x?1)?x???1111111n分析 因为lim(，所以将作为幂??...?)???()??2nnn??1?2n22?2n?2n?1n?2n?1n?11级数的系数，令?x，于是得到幂级数?xn，下面考察此幂级数的和函数。
2n?1n令S(x)?1nx，则逐项求导后有 ?n?1n1n12n?(x)?1?x?x?...?x?...?,?1?xn?1n?? S?(x)?(x?1)，
?11dt??ln(1?x),(x?1)，即?xn??ln(1?x)； 所以S(x)??01?tn?1nx?1111111??...?)?ln2。令x?，得?()n??ln?ln2，所以lim( 2nn??21?22?2n?22n?1n2类型二 当n??时，数列为n项之积
分析 当n??时，求数列为n项之积的极限时，实际上就是求无穷多项相乘的数列的极限，其方法有两个：
（1）想办法将无限项变为有限项，通常的办法有裂项法、将分子分母同乘以一个因子，
使之发生连锁反应（即合二为一法）、夹逼准则法，等等；
（2）利用对数恒等式lnab?lna?lnb,N?elnN等，将n项之积变为n项之和。 例1 求lim(1?n??111)(1?)...(1?)。 22223n1k2?1k?1k?1??分析 因为(1?2)?，于是此题可以用裂项法，将每一项变为两2kkkk项相乘，然后前后项相互抵消，最后剩下首尾两项，即把无限项变为有限项了，然后求有限项的极限即可。具体过程为自己完成。
23?133?143?1n3?1??...3)。 例2 求lim(3n??2?133?143?1n?1分析 记得立方差、立方和公式吗？即有
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)、a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)，
于是此题中每一项的分子就是立方差，分母就是立方和，利用公式将其变形为
k3?1k?1k2?k?1??2， 3k?1k?1k?k?123?11733?121343?1321??，…….， ??，??，于是 32?13333?14743?1513也就是每一项裂项成两项相乘了，下面分别将裂项后的第一式连乘，第二式连乘，然后消去 相消后变为有限项，进而求极限。过程自己完成。
解题策略2 将分子分母同乘以一个因子，使之发生连锁反应，进而将无穷多项变为有限项；
例1 当x?1时，求lim(1?x)(1?x)...(1?x)。
n??22n分析 如果分子分母同时乘以(1?x)，则分子变为(1?x)(1?x)(1?x2)...(1?x2)，可以从左至右两项变为一项了，即有
n(1?x)(1?x)(1?x)...(1?x)?(1?x)(1?x)...(1?x)
22n222n?(1?x)(1?x)...(1?x)?.....?1?xn?1442n2n?1，
(1?x2)而分母一直是(1?x)，于是最后原式变为了lim，即可求出极限，注意本题的前
n??1?x