发布时间 : 星期六 文章01-03有限单元法的分析步骤更新完毕开始阅读
X1?U1?Y1?V1?111EAl1l1(cos?u1?cos?sin?v1?cos?u2?cos?sin?v2)2222EA(cos?sin?u1?sin?v1?cos?sin?u2?sin?v2)2X2?U2?U2?Y2?V2?V2?X3?U3?0Y3?V3?2212EAl1l1(?cos?u1?cos?sin?v1?cos?u2?cos?sin?v2)2222
EAl2(v2?v3)EA(?cos?sin?u1?sin?v1?cos?sin?u2?sin?v2)?EAl2(?v2?v3)? 这些方程就是结构的力――位移关系。
写成矩阵形式，有
?cos2?/l1?X1????Y1?cos?sin?/l1????cos2?/l??X2??1???EA???cos?sin?/l1?Y2???X?03???0???Y3???cos?sin?/l1sin?/l1?cos?sin?/l1?sin?/l10022?cos?/l1?cos?sin?/l1cos?/l1cos?sin?/l10022?cos?sin?/l1?cos?/l1cos?sin?/l1sin?/l1?1/l20?1/l222000000??u1????v0??1?0???u2??????1/l2??v2?0??u3????1/l2??v3????0 (1-7)
或简写成
?R????K????? (1-8)
? 这就是有限单元法所要建立的基本方程组。
式中?R?为作用在节点上的载荷组成的列阵，称为载荷列阵；???是由基本未知量节点位移所组成的列阵；矩阵?K?称为结构的整体刚度矩阵，由(1-8)式可知
?cos2?/l1??cos?sin?/l1??cos2?/l1?K??EA???cos?sin?/l1?0?0??cos?sin?/l1sin?/l1?cos?sin?/l1?sin?/l10022?cos?/l1?cos?sin?/l1cos?/l1cos?sin?/l10022?cos?sin?/l1?cos?/l1cos?sin?/l1sin?/l1?1/l20?1/l222000000??0?0?? ?1/l2?0??1/l2??0(1-9)
? 建立整个刚度矩阵是运用有限单元法解题的核心内容，一旦建立了整个刚度
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矩阵，就等同于列出了有限单元法的基本方程组。
? 式(1-9)表明，结构的整体刚度矩阵是由单元的刚度矩阵叠加组成的。 右下方虚线划出的正是单元2的刚度矩阵，而两个长方形重叠部分中的元素，系同位置上两个单元刚度矩阵的元素之和。
? 上面得出的总体方程组并不能马上求解，因为
(1)其系数矩阵的行列式｜K｜=0，［K］为奇异矩阵，方程组无确定的解。从物理意义上来看，是因为整个结构未受约束，可能产生刚体位移。只要引入几何边界条件，对结构施加足够的约束对刚度矩阵加以修改，排除刚体位移。
(2){R}中包含未知的约束反力。这也要求进行相应处理。
? 处理后可由上述方程组解出全部位移分量。将各点位移分量回代(1-1)式及(1-2)
式，可得出感兴趣的应变和应力。
二、 有限单元法的分析过程
上面是一个用有限单法思路来分析一简单桁架的例子，其他问题的分析思路和它完全相同。通过它可对有限单元法有一个粗略的了解。为便于今后学习，现将其过程概述如下：
1． 结构的离散化
是有限单元法的基础，就是用由有限个方位不同但几何性质及物理性质均相似的单元组成的集合体来代替原来的连续体和结构。每个单元仅在节点处和其它单元及外部有联系。对于不同的问题，根据其自身特点及要求，可选用不同类型的单元。对同一问题也可分别或同时选用多种单元。
2． 单元分析
这是有限单元法的实质性内容，就是针对不同的物理问题，建立反映典型单元的物理特性的方程列式。包括如下几步：
(1) 选取位移模式
为了能用节点位移分量来表示单元内任一点的位移、应变和应力，根据单元的几何特性及变形特点，假定位移是坐标的某种简单函数。这种函数称为位移函数或位移模式。
选定位移模式后，单元内任一点的位移均可用节点位移表示，其矩阵形式是
?f???N???? (1-10)
式中，?f?为单元内任一点的位移列阵；???是单元的节点位移列阵；?N?称为形函数，其元素是坐标的函数。
(2) 利用几何方程，由(1-10)式导出单元的应变表达式
?????B???? (1-11)
eee6
(3) 利用物理方程，由(1-11)式导出用节点位移表示的单元应力表达式
?????S???? (1-12)
(4) 利用平衡条件(方程)或虚功方程，建立作用于单元的节点力和节点位移之间的关系式
?F???K???? (1-13)
以上四步中，导出单元刚度矩阵是单元分析的核心内容。
3． 整体分析 包括二方面的内容：
(1) 根据节点平衡方程，建立以整体刚度矩阵为系数的整体节点位移和外载的关系
式――总体平衡方程
eeee?R????K????? (1-14)
(2) 考虑几何边界条件，修改总体平衡方程，求解出全部未知位移分量。最后计算并整
理所要求的结果。
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总结
有限单元分析的最终目的是建立具有普遍意义的节点位移和节点载荷之间的关系（因果关系，这里载荷是因，位移为果。）
按这去的方法是从因至果一步步分析即可，即
（原因）{R}
但研究发现，当问题不定（普遍）时，约束是不定的，这时无法由总力确定各单元的力（分力），也不能由应变计算出位移。即一种多力可能因约束不同向各个单元上传递的力不一样，一种应变对应着多种位移。
正方向行不通，由结果到原因。这时又会遇到另一个问题：由特点的位移确定整个单元的位移的问题。这就相当于插值问题，由有限个点来给定整个区域的函值这时必须用一个假设来解决，插值问题中是函数的形式，在这里是位移模式（函数）。
上面的1-4步就是单元分析，第5步就是整体2分析。
⑤ 不定
{F}e不定
{?}{?}{f}{?}e。{?}（结果）
④ ③ ② ① 不定 8