数学建模常见模型的解法

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初始权数的确定常常采用定性分析和定量分析相结合的方法。一般是先组织专家,请各位专家给出自己的判断数据,再综合专家的意见,最终形成初始值。具体操作步骤如下:

第一步,将分析研究的目的、已经建立的评价指标体系和初步确定的指标重要性的量化标准发给各位专家,请专家们根据上述的比例标度值表所提供的等级重要性系数,独立地对各个评价指标给出相应的权重。

第二步,根据专家给出的各个指标的权重,分别计算各个指标权重的平均数和标准差。 第三步,将所得出的平均数和标准差的资料反馈给各位专家,并请各位专家再次提出修改意见或者更改指标权重数的建议,并在此基础上重新确定权重系数。

第四步,重复以上操作步骤,直到各个专家对各个评价项目所确定的权数趋于一致、或者专家们对自己的意见不再有修改为止,把这个最后的结果就作为初始的权数。

3.对初始权数进行处理。

第一步,建立判断矩阵A。通过专家对评价指标的评价,进行两两比较,其初始权数形成判断矩阵A,判断矩阵A中第i行和第j列的元素xij表示指标xi与xj比较后所得的标度系数。

第二步,计算判断矩阵A中的每一行各标度数据的几何平均数,记作wi。

Wi??第三步,进行归一化处理。归一化处理是利用公式定各个指标的权重系数。

4.检验判断矩阵的一致性。

Wi?Wi计算,依据计算结果确

检验判断矩阵的一致性是指需要确定权重的指标较多时,矩阵内的初始权数可能出现相互矛盾的情况,对于阶数较高的判断矩阵,难以直接判断其一致性,这时就需要进行一致性检验。本节省略了对于判断矩阵一致性检验的步骤。

【例14.3】现有3个评价指标,其判断矩阵A见表14-5所示,试确定这3个指标的权数。

表14-5 3个指标的判断矩阵A

指标

x1

1 4/6 1/4

x2

6/4 1 5

x3

4 1/5 1

x1

x2 x3

解:根据表14-5中的数据计算Wi:

3W1?361??4?1.817 14 41?1??0.510 965

W2?3W3?进行归一化处理:

1?5?1?1.077 24

?W?1.817 1?0.510 9?1.077 2?3.405 2ii?13

求出这3个指标各自的权重:

W1??W2??W11.817 1??0.533 6W3.405 2?i W20.510 9??0.150 0?Wi3.405 2

W3??W31.077 2??0.316 3W3.405 2?i

通过以上计算结果看出:初步确定x1、x2、x3这3个指标的权重分别为:0.533 6、0.15和0.316 3。全部指标的权重之和等于1或100%。

三、对评价指标的同度量处理

在评价指标体系建立之后,有可能因为各个指标的计量单位不同,即因为具有不同的量纲而不能进行直接比较。因此,一般在收集了相关资料后,还需要进行无量纲化处理,即同度量处理。

在统计综合评价中,对有些事物的评价是采用定性指标来评价的、对有些事物的评价是采取定量指标来评价的,例如对建筑工程项目的质量评价,一般是以优秀、良好、合格、不合格作为评价标准的;顾客对住房质量的评价常常是以满意、比较满意、不满意等来反映的。对企业或部门的综合经济效果的综合评价是定量的评价。

定性指标主要有两类数据:即定类尺度计量的数据和定序尺度计量的数据。对于定类尺度计量的数据,是无法真正量化的;对于定序指标的量化主要采取名次序数百分比和统计综合评分法来处理。

对于定量指标的无量纲化处理常常采用的方法有:相对化处理法、功效系数法和变异系数法等。

(一)统计综合评分法

统计综合分析最常用的方法是综合评分法,一般用来分析评价的项目是根据其品质划分等级的,对其进行量化处理。其核心内容是对评价的不同等级赋予不同的分值,并以此为基础进行综合评价。其分析评价的步骤如下:

1.根据被分析评价对象的特点和分析的目的选择若干指标组成评价的指标体系,并确定各项指标的评分标准、计分方法。

综合评分法的核心是评价标准和计分方法的确定,一般采用如下两种计分方法: 名次计分法:是先根据各个评价指标的优劣排出被评价对象的名次,名次越在前面的得分越高,名次在后的则得分低,然后对同一总体各项指标的得分加总,并以此排定顺序。

百分法:是以100分为标准总分,然后分别确定各个指标占多少分。也需要确定计分标准,每项指标达到什么程度可以得多少分,再根据实际数据依照规定标准分别计分,再将各项指标得分加总就得到了总评价值。最后,以总评价值与评价标准进行对照比较,即可排列出名次顺序、或者确定优劣。

2.对选定的评价指标的实际数据依照评分标准进行评分,由所有指标的分值得出总分。 3.与评价标准进行比较,做出全面综合的评价分析,以确定优劣、排序、或者划分等级。 【例14.4】某品牌电视机厂商,需要了解消费者对该厂某型号电视机的评价,采用评分法综合评价。选择了5个评价指标,评分分为四个等级,收回有效答卷2000份, 所选的评价指标和评分结果见表14-6所示,请对该型号的电视机进行综合评价分析。

表14-6 消费者对电视机质量的评分结果统计表

评价指标 清晰度 耗电量 外观效果 故障率

得票数

100分 1 000 600 500 700

80分 600 800 1 200 900

60分 350 400 200 330

40分 50 200 100 70

平均得分 85.5 79.0 89.0 84.4

解:要计算出消费者对该电视机的综合评价得分,需要分以下两部分计算: 第一步:分别计算每项评价指标的2000份答卷的平均得分: 清晰度的平均得分:

?100?1000?80?600?60?350?40?50171 000??85.5(分)2 0002 000

耗电量的平均得分;

?100?600?80?800?60?400?40?200158 000??78.0(分)2 0002 000

外观效果的平均得分:

?100?500?80?1 200?60?200?40?100178 000??81.0(分)2 0002 000 100?700?80?900?60?330?40?70168 800??82.3(分)2 0002 000

故障率的平均得分:

?第二步:计算出该电视机的综合得分:

假定根据分析确定各项指标的重要程度不同,确定清晰度、耗电量、外观效果和故障率的权重分别为:0.35、0.20、0.15、0.3。则综合加权得分为:

85.5?0.35?78.0?0.2?81.0?0.15?82.3?0.3?82.365?分?

本例题在计算时要注意的是:清晰度和外观效果越好得分越高、耗电量和故障率越高得分越低,所以消费者的综合评价的得分越高说明电视机的质量评价越好。

应用以上计算结果,直接可以进行综合评价。得分越高评价越好。

综合评分法简单易行,容易掌握和应用,因此在实践中被广泛使用。但由于权重的确定是主观分析的结果,因此,本方法的主观因素影响较大;其权重系数可以采取其他更科学的方法计算。

(二)相对化处理法

相对化处理是进行指标间同度量处理常用的方法之一。进行相对化处理,需要先对每个评价指标确定一个标准值,然后计算实际值。

因为指标有“正指标”和“逆指标”之分,一般来说,正指标是指指标数值越大越好的指标,例如产值、收入、利润、劳动生产率等指标;逆指标是指指标数值越小越好的指标,例如单位产品成本、单位GDP的能耗率、产品生产的物耗率等指标。对于正指标和逆指标的相对化处理的公式如下:

正指标的相对化处理公式:

xi??xixi (14—3)

逆指标的相对化处理公式:

xi??xixi (14—4)

公式中:xi?为标准化后的数据;xi为各被评价单位的实际值;xi为标准值。 公式中标准值可以根据研究目的和比较的标准水平的不同,选择一定时期的平均数、计划规定水平、历史最高水平、行业平均水平、国际先进水平等作为标准值。

【例14.5】现假定2007年某地区工业部门的四个同类企业的经济效益指标及行业平均水平指标见表14-7所示,试对这些指标进行相对化处理。

表14-7 四个企业的经济效益指标数据表

企业名称

全员劳动生产率

百元净资产增加值

销售收入

销售收入利税率

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