发布时间 : 星期日 文章切比雪夫不等式及其应用（论文）更新完毕开始阅读
天津理工大学2011届本科毕业论文
当n??时，得
limP(|n??1ni?Xni?1?1ni?E(Xni?1)|??)?1
但是概率不能大于1，所以有
limP(|n??1niX?ni?1?1niE(X?ni?1)|??)?1。
切比雪夫定律说明：独立随机变量序列X1,X2,?,Xn,?的数学期望与方差都存在，且方
1n差一致有上界，则经过算术平均后得到的随机变量X??ni?1Xi，当n充分大时，它的值将比
较紧密地聚集在它的数学期望E(X)的附近，这就是大数定律的统计意义。
3.3.2 伯努利大数定律
切比雪夫大数定律的一个重要推论就是著名的伯努利大数定律，我们同样用切比雪夫不等式来证明。
定理3.2：（伯努利大数定律）在独立试验序列中，设事件A的概率P(A)?p，则对于任意的正数?，当试验的次数n??时，有
limP(|fn(A)?p|??)?1
n??其中fn(A)是事件A在n次试验中发生的频率。
证明：设随机变量?n表示事件A在n次试验中发生的次数，则这些随机变量相互独立，服从相同的二项分布?n~b(n,p)，并有数学期望与方差：
E(?n)?np D(?n)?np(1?p)
显然
fn(A)??nn
则
E(fn(A))?p D(fn(A))?p(1?p)n
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于是，由切比雪夫不等式得
P(|fn(A)?p|??)?1?D(fn(A))?1?p(1?p)n?2?2
当n??时，上式右端趋于1，因此
limP(|fn(A)?p|??)?1
n??但是概率不能大于1，所以有
limP(|fn(A)?p|??)?1。
n??伯努利大数定律说明：当试验在相同的条件下重复进行很多次时，随机事件A的频率
fn(A)将稳定在事件A的概率P(A)附近。伯努利大数定律提供了用频率来估计概率的理论依
据，这个正确的论断曾经在一系列的科学试验以及大量的统计工作中得到证实，而切比雪夫不等式从理论上对此给出了严格的证明。
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第四章 切比雪夫不等式在其他领域的应用
4.1生活中的小概率事件
有句话说的好：多一个朋友多一条路。我们在生活中少不了朋友的帮助，当然也少不了对朋友的付出。可以说，朋友就是我们生活中很重要的一部分，出门靠朋友，没有朋友或许你将寸步难行。但人们会误解地认为遇见你朋友的概率会很大，因为有时候一天能交上好几个朋友。事实上，从遇见一个人到最后称兄道弟的概率是很小很小的。
下面就来算一下每个人交到朋友的概率，假设：我们每天上学途中、上班途中、购物或是旅行途中碰到的，哪怕只是在眼前一闪而过的陌生人，按平均每天遇见135 人来算，平均一年就有135*365=49275 人。能成为朋友的：如果从一般意义上讲的朋友，按每年遇到50 人算，那么我们的每一个朋友都是在碰到的概率才
5049275?0.0014927550?985[7]
人之后的那个人，也就是说一年遇到朋友
。我们再来估计一下刚刚你说一天交上好几个朋友的概率。
记事件A为遇到一个人就是我们的朋友，显然
P(A)?0.00149275?2.03?10?8。
设随机变量X是每天A发生的次数，我们可以近似看作符合二项分布X~b(n,p)，n是每天遇到的人数，p是遇见一个人就是我们朋友的概率，即n?135，p?2.03?10?8 则
E(X)?np?2.74?10?6 D(X)?np(1?p)?2.74?10?6
一天交上好几个朋友，即事件A发生的次数大于2 利用切比雪夫不等式P [X?E(X)??]???22得
2.74?1022?6P(X?2)?P(X?2.74?10?6?2)??6.85?10?7。
看了这些数据你可能会大吃一惊，我们每天交上一个朋友的概率才2.74?10?6，而一天同时交上两个以上的朋友的概率才不到6.85?10?7，从相遇到相交是如此的小概率的事件，更何况地球上有60 亿人，而且还将不断增长下去，我和你相遇的机会才60 亿分之1，所以说相遇都是一种缘分，更何况是朋友，请珍惜你身边的朋友。
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4.2 切比雪夫不等式在经济评价风险中的应用[8]
经济评价中的概率风险分析是利用概率理论来研究不确定因素和风险因素对项目经济评价指标影响的一种定量分析方法。比起经济评价中盈亏平衡分析和敏感性分析，概率风险分析考虑了各种不确定因素在未来发生不同幅度变动的概率及其对项目经济效果指标的影响， 对项目的风险情况作出了比较准确的判断。所以对一些项目，尤其是重大项目， 必须作概 率分析。而在经济评价中的一个重要指标就是内部收益率IRR， 现在我们用切比雪夫不等式来评价IRR的概率风险分析。
4.2.1 IRR的多元线性函数
内部收益率IRR是项目净现值为零时的折现率，其数学表达式如下:
n?(1?IRR)t?1CFtt?0
式中n是项目计算期，CFt是第t年净现金流量。它主要依赖于项目各年的产量、售价、经营成本、固定资产投资等因素。
上式我们可以利用线性回归方法将IRR表示为各因素变化水平的线性函数：设第i种因素的变化率为xi，第i种因素变化后的内部收益率为IRRi，则他们的线性关系是：
IRRi??i??ixi i?1,2,3,?,m （4.1）
考虑IRR同时受m个因素共同影响的多因素敏感性分析问题，由多元函数台劳展式：
IRR(x1,x2,?,xn)?IRR(0,0,?,0)??IRR?xix1?x2??xm?0
结合（4.1）式有
?IRRi?xi??i i?1,2,3,?,m
于是可将IRR表示为各因素变化水平的多元线性函数：
IRR?IRR0??1x1????mxm （4.2）
其中IRR0是当各因素变化率为0时内部收益率的值，也就是不考虑各因素变化的原始内部收益率，x1,x2,?,xn是各种风险因素变化率。
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