发布时间 : 星期四 文章热统勾选习题（不含第九章）更新完毕开始阅读
p2??. 2m因此
p?2m?,pdp?md?.
将上式代入式（2），即得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为
D???d??2L?m???d?. h?2??12132πVD(?)d??3?2m?2?2d?. （3）
h 解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在?空间体积元dxdpx内可能的量子态数为
dxdpx. h在长度L内，动量大小在p到p?dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为
将能量动量关系
p2?? 2m2Ldp. （1） h代入，即得
6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为
D???d??2L?m???d?. （2） h?2??122πL2D???d??2md?.
h 解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在?空间体积元dxdydpxdpy内的量子态数为
1dxdydpxdpy. （1） h2用二维动量空间的极坐标p,?描述粒子的动量，p,?与px,py的关系为
px?pcos?,py?psin?.
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
pdpd?.
在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内，动量方向在?到??d?范围内，二维自由粒子可能的状态数为
L2pdpd?. （2） h2对d?积分，从0积分到2π，有
?维自由粒子可能的状态数为
将能量动量关系
2?0d??2π.
可得在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内（动量方向任意），二
2πL2pdp. （3） h2p2?? 2m代入，即有
2πL2D???d??2md?. （4）
h
6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
??cp.
试求在体积V内，在?到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的状态数为
4?V2pdp. （1） h3将极端相对论粒子的能量动量关系
??cp
代入，可得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
D???d??4πV?ch?2?d?. （2） 37.1 试根据公式p???all??l证明，对于非相对论粒子 ?Vp21?2??222??????nx?ny?nz?, ?nx,ny,nz?0,?1,?2,2m2m?L?2?,
有
p?2U. 3V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为
?nxnynz1?2??222????nx?ny?nz?, ?nx,ny,nz?0,?1,?2,2m?L?2?, （1）
为书写简便起见，我们将上式简记为
?l?aV, （2）
2?23?2??其中V?L3是系统的体积，常量a?2m?n2x2?ny?nz2?，并以单一指标l代表nx,ny,nz三个量子数. 由式（2）可得
代入压强公式，有
??12?52???aV3??1. （3） ?V33Vp???all??l2??V3V?al?l?l2U, （4） 3V式中U??al?l是系统的内能.
l上述证明示涉及分布?al?的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
前面我们利用粒子能量本征值对体积V的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）. 需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能.
7.2 试根据公式p???all??l证明，对于相对论粒子 ?V122z2???cp?cL?n2x?n?n2y?, ?nx,ny,nz?0,?1,?2,?,
有
p?1U. 3V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
解: 处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为
?nnnxyz2??cL?n2x?n?n2y122z? ?nx,ny,nz?0,?1,?2,?, （1）
用指标l表示量子数nx,ny,nz,V表示系统的体积，V?L3，可将上式简记为