发布时间 : 星期四 文章热统勾选习题（不含第九章）更新完毕开始阅读
下图是相应的T?S图. 计算效率时应用T?S图更为方便.
在由状态A等温（温度为T1）膨胀至状态B的过程中，平衡辐射吸收的热量为
的热量为
循环过程的效率为
??1?T?S?S?Q2T?1?221?1?2. （6） Q1T1?S2?S1?T1Q1?T1?S2?S1?. （4）
在由状态C等温（温度为T2）压缩为状态D的过程中，平衡辐射放出
Q2?T2?S2?S1?. （5）
3.5 求证：
??U?????????T????. ?n?T??T,V??V,n解：自由能F?U?TS是以T,V,n为自变量的特性函数，求F对n的偏导数（T,V不变），有
??F???U???S???T??????. （1）
??n?T,V??n?T,V??n?T,V但由自由能的全微分
dF??SdT?pdV??dn
可得
??F?????,?n??T,V??S???????????,?n?T??T,V??V,n （2）
代入式（1），即有
??U?????????T????. （3）
??n?T,V??T?V,n3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为
?pdT??Um?L?1??.
?Tdp?如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能Um、摩尔焓Hm和摩尔体积Vm的改变满足
?Um??Hm?p?Vm. （1）
平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L：
?Hm?L.
克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出
即
?Vm?LdT. （4） TdpdpL?, （3） dTT?Vm将式（2）和式（4）代入（1），即有
?pdT??Um?L?1??. （5） Tdp??如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为
式（5）简化为
dpLp?. （6） dTRT2?RT??Um?L?1??. （7） L??3.8 在三相点附近，固态氨的蒸气压（单位为Pa）方程为
lnp?27.92?3754. T3063. T液态氨的蒸气压力方程为
lnp?24.38?试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热.
解：固态氨的蒸气压方程是固相与气相的两相平衡曲线，液态氨的蒸气压方程是液相与气想的两相平衡曲线. 三相点的温度Tt可由两条相平衡曲线的交点确定：
由此解出
Tt?195.2K.
27.92?37543063?24.38?, （1） TtTt将Tt代入所给蒸气压方程，可得
pt?5934Pa.
将所给蒸气压方程与式（3.4.8）
比较，可以求得
L升?3.120?104J,L汽?2.547?10J.4Inp??L?A （2） RT
氨在三相点的熔解热L溶等于
L溶?L升?L汽?0.573?104J.
3.12 蒸气与液相达到平衡. 以
dVm表示在维持两相平衡的条dT件下，蒸气体积随温度的变化率. 试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为
1dVm1?L???1??. VmdTT?RT?解：蒸气的两相平衡膨胀系数为
1dVm1???Vm???Vm?dp?????. （1） ????VmdTVm????T?p??p?TdT??将蒸气看作理想气体，pVm?RT，则有
1??Vm?1?,??Vm??T?pT1??Vm?1??.??Vm??p?Tp （2）
在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积，因而有
dpLLp??. （3） 2dTTVmRT将式（2）和式（3）代入式（1），即有
1dVm1?L???1??. （4） VmdTT?RT?6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在?到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
132?VD???d??3?2m?2?2d?.
h 解: 式（6.2.13）给出，在体积V?L3内，在px到px?dpx,py到
py?dpy,px到px?dpx的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
Vdpxdpydpz. （1）
h3用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的量子态数为
4πV2pdp. （2） h3上式可以理解为将?空间体积元4?Vp2dp（体积V，动量球壳4πp2dp）除以相格大小h3而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为