发布时间 : 星期三 文章热统勾选习题（不含第九章）更新完毕开始阅读
这小段由初温T变到终温?T1?T2?后的熵增加值为
dSl?cpdl?T1?T22T12T1?T2dT2?cpdlln, （2）
T?TTT2?12lL其中cp是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为
?S??dSlL?T?TT?T????cp??ln12?ln?T2?12l??dl02L????cp??T?TT1?T2??T1?T2??T1?T2???cpLln12?T?llnT?l?T?l?? ?2??2??2?T?T2LLL12????????0LcpLT1?T2?cpLln??T1lnT1?T2lnT2?T1?T2?2T1?T2?T?TTlnT?TlnT2??Cp?ln12?112?1?.2T?T?12?L （3）
式中Cp?cpL是杆的定压热容量。
试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数???T???T?和???描述. 熵函数S(T,p)的全微分为 ??p?S??p?H??S???S?dS??dT???dp. ???T?P??p?T在可逆绝热过程中dS?0，故有
??S???V?T???p????T??T?P???T. （1） ?????S??pC????Sp????T?P最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.
焓H(T,p)的全微分为
??H???H?dH??dT???dp. ???T?P??p?T在节流过程中dH?0，故有
??H???V?T??p????V??T??T??T??P. （2） ?????H?Cp????p?H????T?P最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得
??T?????p?S??T?V????0. （3） ??pC??Hp所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.
由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.
2.8 证明
??2p???CV????T?2?,?V??T??T?V??Cp???2V?????T?2?, ?p??T?p??T并由此导出
??2p?CV?C?T??2?dV,V0?T??V0VV??p?0Cp?Cp?T??2?dp.p0?T??pp2
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T的函数.
解：式（2.2.5）给出
??S?CV?T??. （1）
??T?V以T，V为状态参量，将上式求对V的偏导数，有
??2S???2S??CV???T????T??V?V?T??T????T?V???2S???T?2?, （2） ???T?V其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程
pV?nRT
知，在V不变时，p是T的线性函数，即
??2p??2??0. ??T?V所以 ???CV???0. ??V?T这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得
??2p?CV?C?T??2?dV. （3） V0?T??V0VV式（3）表明，只要测得系统在体积为V0时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.
同理，式（2.2.8）给出
??S?Cp?T??. （4）
??T?p以T,p为状态参量，将上式再求对p的偏导数，有
??Cp???2S???2S???2S????T???T????T?2?. （5） ?p?p?T?T?p??????T?p??T其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程
pV?nRT
知，在p不变时V是T的线性函数，即
??2V??2??0. ??T?p所以
??Cp????0. ?p??T这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得
??2V?Cp?C?T??2?dp. p0?T??p0pp式（6）表明，只要测得系统在压强为p0时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.
2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为
1p?aT4, （1） 3因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T与体积V的关系
T3V?C(常量). （2）
将式（1）与式（2）联立，消去温度T，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p与体积V的关系
pV?C?（常量）. （3）
43下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p?V图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.