发布时间 : 星期一 文章2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题5 立体几何 第2讲 大题考法 - 立体几何的综合问题学案更新完毕开始阅读
第2讲 大题考法——立体几何的综合问题
考向一 平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题
【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直1
于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．
2
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积． [审题指导]
1
①看到AB＝BC＝AD，想到取AD的中点
2
②看到四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD③看到求VP-ABCD，想到体积公式，关键是确定高及底面积[规范解答] (1)证明：在平面ABCD内， 因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 故BC∥平面PAD.4分
1
(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，
2
?
2分 3分
得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 6分
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，
8分 9分
?
PM＝3x，PC＝PD＝2x．
取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD， 所以PN＝
14x. 2
10分
?
114
因为△PCD的面积为27，所以×2x×x＝27，
22解得x＝－2(舍去)或x＝2． 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23. 所以四棱锥P-ABCD的体积
11分
V＝×
1
3
2
2＋4
×23＝43. 2
12分
?处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．
?处易忽视通过侧面PAD⊥底面ABCD可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．
?处易忽视如何表示△PCD的面积，即以CD为底，高如何确定，导致思路不通．
[技法总结] 位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型
[变式提升]
1．(2018·天水二模)在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．
(1)求证：平面POB⊥平面PAC；
证明 由条件可知，
Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO． ∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°． ∴AC⊥BO．
∵PA＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD． 平面PAD⊥平面ABCD． 平面PAD∩平面ABCD＝AD，??
∵?PO⊥AD，??PO?平面PAD∴PO⊥平面ABCD．
又∵AC?平面ABCD，∴AC⊥PO． 又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB． ∵AC?平面PAC， ∴平面POB⊥平面PAC．
(2)求多面体ABCDPQ的体积． 解 取AB中点为E，连接CE，QE． 由(1)可知，PO⊥平面ABCD．
又∵AB?平面ABCD，∴PO⊥AB．
又∵AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面PAD．
131?1?2
∴VABCDPQ＝VPAD-QEC＋VQ-CEB＝S△PAD·|AE|＋S△CEB·|PO|＝×2×1＋?×1×2?×3＝
343?2?
43
． 3
考向二 平面图形的翻折与探索性问题
【典例】 如图①，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，AC＝22，△ABC是等边三角形，F为线段AC的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图②所示．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)试问：在线段BC上是否存在一点E，使得若不存在，请说明理由．
(1)证明 AD＝CD＝2，AC＝22， 从而AD＋CD＝AC，
故AD⊥CD，△ADC是等腰直角三角形． 又F为线段AC的中点，所以DF⊥AC． 连接BF(图略)，因为△ABC是等边三角形， 所以BF⊥AC，
又DF∩BF＝F，故AC⊥平面BDF． 又BD?平面BDF，所以AC⊥BD． (2)解 线段BC上存在点E，使得
2
2
2
VC-DFE1
＝？若存在，请求出点E的位置；VC-DBA4
VC-DFE1
＝，且E为线段BC的中点．因为平面ADC⊥平VC-DBA4
面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，且DF⊥AC，所以DF⊥平面ABC，故DF为三棱锥D-FCE和D-ABC的高，
1
CF·CE·sin∠ECFVC-DFEVD-FCES△FCE2CFCE1所以＝＝＝＝·＝．
VC-DBAVD-ABCS△ABC1CACB4
CA·CB·sin∠ACB2又F为线段AC的中点，
CF1CE1所以＝，故＝，
CA2CB2
从而E为线段BC的中点，