发布时间 : 星期六 文章(完整word版)精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)更新完毕开始阅读
因式分解?提公因式法
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式， 根据乘法分配律的逆运算， 可以把这个公因式提
到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。 它的理论依据就是乘法分
配律。多项式的公因式的确定方法是：
(1 )当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。
(2 )系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多 项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1.把下列各式因式分解
(1) 2 m 2
a x
abx
m 1
acx ax
m m 3
(2) a(a b)3
2a2
(b a) 2ab(b
2
a)
分析
: (1)若多项式的第
-项系数是负数，
般要提出“一”号，使括号内的
第一项系数是正数，在提出“-”号后，多项式的各项都要变号。
2 m2
m 1
m
m3
m 2
3
解： ax abx acx ax ax (ax bx c x )
(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当
n
为自然数时，(a b)2n (b a)2n ; (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过
解：a(a
b)3 2a2(b a)2 2ab(b a) a(a b)3 2a2(a
b)2 2ab(a b)
a(a b)[(a b)
2
2a(a b) 2b]
a(a b)(3a 4ab
2
b2 2b)
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算123器
268
456
器521器
1368 分析：算式中每一项都含有 987 1368
，可以把它看成公因式提取出来，再算出结
果
。
987
解：原式 -
(123 268 456 521)
1368
987 1368 987 3.
在多项式恒等变形中的应用1368
2x y 3 5x 3y 2
例:不解方程组 ，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把2x y和5x 3y看成整体，它们的值分 别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有 2x y，利用提公因式法把代数式 恒等变形，化为含有 2x y和5x 3y的式子，即可求出结果。
程中常用的因式变换。
(2x y)(2x 3y) 3x(2x y) (2x y)(2x 3y 3x)
把2x y和5x 3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是
(2x y)(5x 3y)
6。
例 2 ?分解因式：4q(1 p)3
3
2
2( p 1)2 4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数
n, 3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 倍数即可。
3门2 2门2 3门 2门 3门2 3介 2 n 2
2门
3n(32 1) 2n(22
1)
10 3
n
5 2
n
对任意自然数n, 10
3n和5 2n都是10的倍数。 3n 2 2“ 2 3“
2“
一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。因式分解3x(x 2) (2 x)
解：3x(x 2)
(2 x)
3x(x 2) (x 2) (x 2)(3x
1)
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换 得到。
10的解：4q(1 p) 2(p
1)
4q(1 p) 2(1 p)
3 2
2(1 P)2[2q(1 p) 1]
2(1 p)2(2q 2pq 1)
说明：在用提公因式法分解因式前，
必须对原式进行变形得到公因式，
同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例 1?计算：2000 20012001 2001 20002000
精析与解答：
设 2000 a，则 2001 a 1
2000 20012001 2001 20002000
a[10000(a 1) (a 1)] (a 1)(10000a a) a(a 1) 10001 a(a 1) 10001
a(a 1) (10001 10001) 0
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其 中2000、2001重复出现，又有 2001 2000 1的特点，可通过设未知数，将复
杂数字间的运算转化为代数式，
再利用多项式的因式分解化简求值，
从而简化计算。
例 2.已知：x2 bx c(b、c 为整数)是 x4 6x2 25及 3x4 4x2 28x 5
的公因式，求b、c的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求 比较麻烦。注意到x2 bx c是3(x4 6x2 25)及3x4 4x2 28x 5的因式。
x 2，5 x都是大于1的自然数
b、c,但
(x 2)(5 x)是合数
说明：在大于1的正数中，除了 1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数 叫合数。只能被1因而也是 (3x4 4x2 28x 5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二
次因式。
解：
x2 bx c是 3(x4 6x2 25)及 3x4 4x2 28x 5的公因式
4
2
4
2
也是多项式3(x 6x 25)
(3x 4x 28x
5)的二次因式
4
2
4
2
2
而 3(x 6x 25) (3x 4x 28x 5)
14(x 2x 5)
b、c为整数
得：x
2
bx c x2
2x 5 b
2, c 5
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式
14x2
28x 70,从
2
而简便求得x bx c。
例3?设x为整数，试判断10 5x x(x 2)是质数还是合数，请说明理由。 解：10 5x x(x 2)
5(2 x) x(x 2) (x 2)(5 x)
和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.分解因式：
(1) 4m2 n3 12m3 n2 2mn
(2)
a2xn 2 abxn 1 acxn adxn 1 ( n 为正整数)
(3)
a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)2
2.计算：(2)11
(2)10的结果是(
)
J00
3.xA. 2 B. 2 C. 2 已知、y都是正整数，且 x(x y) y(y x) 12，求x、y。
7 9 13
4.证明：81 27 9能被45整除。
2 1995
5.化简：1 x x(1 x) x(1 x) …x(1 x)，且当x 0时，求原式D. 1
的值。