发布时间 : 星期五 文章郝晓杰-1367106331-单级倒立摆的PID控制更新完毕开始阅读
图3.4 直线一级倒立摆系统
我们需要设几个参数：M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、I 摆杆惯量、F加在小车上的力、x小车位置、φ摆杆与垂直向上方向的夹角、θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
图3.5是系统中小车和摆杆的受力分析图。 其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向：
图3.5 （a）小车隔离受力图 （b）摆杆隔离受力图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
???F?bx??N （3.1） Mx
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
d2N?m2?x?lsin??t
??co??2sin??ml?xs?ml?? （3.2）即 ： N?m?
把这个（3.2）代入（3.1）中，就得到系统的第一个运动方程： ?m??cos?2sin???bx??ml??M?x??l???F （3.3）
??为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，
可以得到下面方程：
d2P?mg?m2?lcos??dt
???2即：P?mg??ml?sin??ml?cos? (3.4)
?? 因力矩平衡方程如下： ?Plsin??Nlcos??I?
(3.5)
将（3.4）与（3.2）代入（3.5）中消去P和N，得到第二个运动方程：
?I???mglsin???mlx??cos? (3.6) ?ml2??设?????（?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，?是摆杆与垂直向下方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ《1，则可以
2?d??cossin? ? ?进行近似处理： ? ? ? 1 , ? , ? ? 0 。 我们将外作用力F看做输? dt? ???入u，输出有两个，一个是小车位置x，还有一个是摆杆角度?，线性化后两个运动方程如下：
???mgl??mlx?I?ml2???????u?????M?mx?bx?ml?? (3.7)
本设计在对倒立摆校正时，只取一个被控量?进行PID控制，对方程组(3.7)
??进行拉普拉斯变换，得到
?I?ml2??s?s2?mgl??s??mlX?s?s2?22????????M?mXss?bXss?ml?ss?U?s? ?
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度?，求解方程组(3.8)的第一个方程，可以得到：
?? (3.8)
?I?ml2g?X(s)???2???s?s??ml (3.9)
??把上式代入方程组(3.8)的第二个方程，得到：
?I?ml2?I?ml2g?g?2?M?m???2???s?s?b?-2???s?s?ml??s?s2?U?s?s?s??ml?ml(3.10)
整理后得到传递函数：
????ml2s???sq?U?s?bI?ml23?M?m?mgl2bmgl4s?s?s?sqqq
??(3.11)
其中：
q???m?M??I?ml2???ml?2?
系统状态空间方程为
??AX?Buxy?CX?Dn ???,?x方程组（3.12）对?解代数方程，得到解如下：
??x?x(3.12)
?I?ml2bm2gl2I?ml2?????xx??u222I?M?m??MmlI?M?m??MmlI?M?m??Mml??????mlbmgl(M?m)ml?x???u222??IM?m?MmlI(M?m)?MmlI(M?m)?Mml (3.13) 整理后得到系统状态空间方程：
?????????01???x??(I?ml2)b??0?2????x??I(M?m)?Mml????0?0????-mlb??0???I(M?m)?Mml2?0mglI(M?m)?Mml2mgl(M?m)I(M?m)?Mml2022??0?02???x??I?ml0?????2?x?I(M?m)?Mml???????1??0??ml??????0?????2???I(M?m)?Mml?
（3.14）
在建立起倒立摆的数学模型后，那么就要对具体的实际的倒立摆进行仿真研究了，即通过具体给定的模型参数（如小车质量、摆杆质量。小车摩擦系数等）确定实际的被控对象，在本设计中，采用被控对象的传递函数(3.11)。
?x??????0??x??1000??xy???????????u?0010???0??????????ml2s??s?q?U?s?bI?ml23?M?m?mgl2bmgl4s?s?s?sqqq??
其中：
(3.11)
q???m?M?I?ml2??ml???2?
当倒立摆模型的参数给定以后，代入传递函数（3.11）即可确定被控对象的具体表达式，为了节省中间复杂的计算，如下图所示：
在命令窗口运行如下：
由运行结果确定倒立摆模型的传递函数为
??s?1.4650s?3U?s?s?0.1171s2?15.7926s?1.7228
4.2 simulink模型建立
在确定好了具体的倒立摆模型传递函数以后，就可以对倒立摆进行PID校正，于是可以再MATLAB的simulink界面下搭建倒立摆的闭环控制系统。
打开MATLAB，进入simulink，并搭建起倒立摆控制系统的方框图，如下图所示：