发布时间 : 星期四 文章2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学(文)试题(解析版)更新完毕开始阅读
∴h(x)max?h(2)??3?4ln2?0,∴f?x2??3x2?0,即【点睛】
f?x2???3. x2本题主要考查导数与函数的单调性,导数与函数的极值,还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为??x?2?2cos?,(?为参数).
?y?2sin?以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为
??4sin?.
(1)写出C1的极坐标方程;
(2)设点M的极坐标为(4,0),射线????0????????分别交C1,C2于A,B两4?点(异于极点),当?AMB??4时,求tan?.
【答案】(1)??4cos?(2)tan??221 2【解析】(1)利用sin??cos??1,消去C1的参数将C1的参数方长化为普通方程,再根据直角坐标和极坐标转换公式,转化为极坐标方程.
(2)将射线???分别于C1,C2的极坐标方程联立,求得A,B两点对应的?1,?2,由此求得AB的表达式,求得AM的表达式,根据|AB|?|AM|列方程,由此求得tan?的值. 【详解】 (1)∵??x?2?2cos?,(?为参数)
?y?2sin?∴曲线C1的普通方程为(x?2)2?y2?4,即x2?y2?4x?0 ∵x??cos?,y??sin?,∴?2?4?cos??0 ∴曲线C1的极坐标方程为??4cos? (2)依题意设A??1,??,B??2,??,
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∴由???????????4cos?.得1由?得?2?4sin?.
???4cos????4sin?∵0????4,∴?1??2.
∴|AB|?|OA|?|OB|??1??2?4cos??4sin?. ∵OM是圆C1的直径,∴?OAM??2.
∴在直角Rt?OAM中,|AM|?4sin? ∵在直角Rt?BAM中,?AMB??4
∴|AB|?|AM|,即4cos??4sin??4sin? ∴4cos??8sin?,即tan??1. 2
【点睛】
本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识;考查运算求解能力;考查数形结合、函数与方程思想.
23.设函数f(x)?2sinx?|a?3|?|a?1|. (1)若f??????6,求实数a的取值范围; ?2?1?1恒成立. a(2)证明:?x?R,f(x)?|a?3|?【答案】(1)???,0?U?4,???(2)证明见解析 【解析】(1)将不等式f?等式的解集.
(2)将要证明的不等式转化为证?x?R,2sinx??|a?1|??????6化为|a?3|?|a?1|?4,利用零点分段法,求得不?2?1?1恒成立,由2sinxa第 22 页 共 23 页
的最小值为?2,得到只要证?2??|a?1|?对值不等式和基本不等式,证得上式成立. 【详解】
11?1,即证|a?1|??1?2,利用绝aa???f(1)∵???6,∴2?|a?3|?|a?1|?6,即|a?3|?|a?1|?4 ?2?当a?3时,不等式化为??a?3?a?1?4,∴a?4
a?3??(3?a)?(a?1)?4当1?a?3时,不等式化为?,此时a无解
?1?a?3当a?1时,不等式化为??(3?a)?(1?a)?4,∴a?0
?a?1综上,原不等式的解集为???,0?U?4,??? (2)要证?x?R,f(x)?|a?3|?1?1恒成立 a即证?x?R,2sinx??|a?1|?1?1恒成立 a11?1,即证|a?1|??1?2 aa∵2sinx的最小值为-2,∴只需证?2??|a?1|?又|a?1|?11111?1?a?1??1?a??|a|??2|a|??2 aaaaa1?1?2成立,∴原题得证 a∴|a?1|?【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质、解法,基本不等式等知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化,分类与整合思想.
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