发布时间 : 星期五 文章2009年江西地区高考数学试卷(理科)规范标准答案与解析更新完毕开始阅读
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据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合．
观察图形，结合题意知b=3，
又b﹣a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1， 代入y1=
=2
，所以N（1，2
）
=
．
由直线过定点A知直线斜率k=故答案为：
．
【点评】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系．基本思路是：①构造函数f（x）（或f（x）与g（x）），②作出f（x） （或f（x）与g（x））的图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点． 16．（4分）（2009?江西）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 BC （写出所有真命题的代号）．
【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程． 【专题】简易逻辑．
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，
A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出， B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标． C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
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【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+
（y﹣2）2=1的切线的集合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确； C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类， 其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等， 故本命题不正确． 故答案为：BC．
【点评】本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆 x2+（y﹣2）2=1 的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径．
三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（12分）（2009?江西）设函数f（x）=
，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．
【考点】函数的单调性及单调区间；简单复合函数的导数；不等式． 【分析】（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．
（2）将f'（x）代入不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵f（x）=
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∴
由f'（x）=0，得x=1，
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0； 所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（﹣∞，0），（0，1] （2）由f'（x）+k（1﹣x）f（x）=得：（x﹣1）（kx﹣1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}； 当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．
【点评】本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减． 18．（12分）（2009?江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额． （1）写出ξ的分布列； （2）求数学期望Eξ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】应用题． 【分析】（1）ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30，然后根据相互独立事件的概率公式解之，得到分布列；
=＞0，
（2）利用数学期望公式Eξ=ξ1×p1+ξ2×p2+ξ3×p3+…+ξn×pn直接解之即可． 【解答】解：（1）ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30
；
依此类推
；
所以其分布列为： ξ 0 P
；
；
5
10
15
20
25
30
*-
（2）
∴数学期望Eξ=15 【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望以及分布列．同时考查了相互独立事件的概率以及计算能力，属于基础题．
19．（12分）（2009?江西）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，
sin（B﹣A）=cosC． （1）求A，C； （2）若S△ABC=，求a，c．
【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用． 【专题】计算题． 【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．
（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）因为
所以左边切化弦对角相乘得到
sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB， 所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．
所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立） 即2C=A+B，C=60°， 所以A+B=120°，
又因为sin（B﹣A）=cosC=， 所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍）， 所以A=45°，C=60°．
（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得
即：
∴a=
S=acsinB=∴c2=12∴c=2∴a=
=2
=3+
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆． 20．（12分）（2009?江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N （1）求证：平面ABM⊥平面PCD；