发布时间 : 星期五 文章(整理)多元函数微积分练习题更新完毕开始阅读
-------------
练习题
一 多元函数微分学部分练习题
1 求函数z?1x?y?21x?y2的定义域.
2已知f(x?y,xy)?x?y?5xy,求f(x,y). 3计算下列极限 (1)
ey)(x,ylimln(x?)?(1,0)x2 ?y2 (3)
3xy(x,ylim)?(0,0)xy?4?2 2xy?x2y2(5)(x,ylim )?(2,1)x2?y24 证明极限
x?y(x,ylim)?(0,0)x?y不存在.
5 指出函数f(x,y)?x?yx?2y2的间断点.
6计算下列函数的偏导数 (1)z?ln(x2y) (3)z?x2f(x,y) (5)z?x4?y4?3xy?2y (7)z?e2x?ycos(3x2y) (9)u?1x2?y2?z2 7 计算下列函数的二阶偏导数
(1)z?x4?3xy?y2 (3)z?exysiny (5)z?f(xy,x2) -------------
(2) limx2?y2
(x,y)?(?,?)x4?y41(4)
(x,ylim)?(0,1)(1?xy)x
sin2(x2(6)(x,ylim?y2))?(0,0)x2?y2 (2)z?(1?xy)x
(4)z?x?(xy) (6)z?ln(x2?y2)
(8)z?(1?xy)y
(10)z??x2y20sintdt
(2)z?yln(xy) (4)z?x2f(x,y)
-------------
8求下列函数的全微分
xy (1)z?xe (2)z?1
x2?y2 (3)z?arcsinxy (4)z?xy?yf(x,y) 9 设f(x,y)??2xy1sint2dt,求df.
210 (1)z?uv?uv,其中u?xcosy,v?ysinx,求
?z?z, ?x?y?z?z, ?x?y (2)u?f(x,y,z)?arctan(x?y?z),其中z?cos(xy),求
(3)z?eu?v, u?sint,v?t,
222dz dt (4)z?f(,x?y),求
xy?z?z, ?x?y?z?z,; ?x?y (5)设z?f(2x?y)?g(x,xy),求
11 (1)设x?2xy?ln(x?y)?0,求 (2)设e?xyz,求
z2dy. dx?z?z,. ?x?y (3)已知??x?y?z?0dxdy,求,. 22dzdz?x?y?z?1t?x??1?t?1?t?12 求曲线?y? 在点t?1的切线及法平面方程.
t?2?z?t???x2?y2?z2?613求曲线?在点M0(1,?2,1)处的切线与法平面方程.
?x?y?z?014求曲面e?z?xy?3在点M(2,1,0)处的切平面和法线方程. 15求函数z?x?(y?1)的极值.
16求函数u?xyz在条件x?y?z?a(x,y,z,a?0)下的极值. -------------
2322z-------------
2317求函数u?xyz在曲面x?y?z?3xyz?0上点P(1,1,1)处,沿曲面在该点朝上的
222法线方向的方向导数.
18 设f(x,y,z)?x?y?z?xy?x?y?3z,求gradf(1,2,3).
222二 多元函数积分学部分练习题
1、改变下列二次积分的积分次序 (1) (3)
?10dx?2f(x,y)dy (2)?dy?x11y01?1?y2f(x,y)dx
?20dy?yf(x,y)dx??dy?yf(x,y)dx
222y42 2、计算下列二重积分 (1) (2) (3)
??xyd?,其中区域D是曲线y?DD1,x?2及y?x所围成的区域. x2y?4x及y?x所围成的区域. D,其中区域是曲线(x?y)d?????(x?y)d?,其中区域D:x?y?1.
D (4) (5) (6)
??cos(x?y)d?,其中区域D是曲线y?x,y?0及x?D?xe??D2?2所围成的区域.
?y2d?,其中积分区域D为中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
??Dx2?y2d?,其中积分区域为D:x2?y2?1,x2?y2?2x,y?0.
3、设函数f(x,y)连续,且f(x,y)?xy?和x?1所围成的区域.
??Df(x,y)dxdy,其中D是由y?0,y?x2 4、设函数f(u)具有连续导数,且f(0)?0,f?(0)?3,求limt?0x2?y2?t2??f(x2?y2)d??t3.
5 计算下列三重积分 (1)
???sin(x?y?z)dxdydz,其中?是由三个坐标面与平面x?y?z???2所围成的立
-------------
------------- 体;
(2)计算间形体. (3)计算积分
222x?y?z?4在第一卦限的部分. ,其中是球面xyzdxdydz????2222z?x?y,其中是由曲面 以及所围成的空zdxdydzz?2?x?y??????6 试计算立体?由曲面z?8?x?y及z?x?y所围成的体积. 7计算
z222x?y?z?1. ,其中是球面edxdydz?????22228 计算下列曲线积分 (1)(2)(3)
??LxydS,其中L为圆x2?y2?a2在第一象限内的部分;
(x2?y2?z2)dS,其中?是球面x2?y2?z2?9与平面x?y?z?0的交线.
(1?y3)dx?(2x?y)dy,其中L是曲线y3?x2上从点O(0,0)到点A(1,1)的一段
??L弧;
(4)计算段弧.
(5)在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中求一条直线L,使沿该曲线到点O到点A的积分
?Lydx?xdy,其中L为圆周x?rcos?,y?rsin?上由??0到??2?的一
?(1?yL3)dx?(2x?y)dy的值最小.
(6)计算 (7)计算部分.
(8)计算分的外侧.
1dS,其中?为球面x2?y2?z2?4被平面z?1截出的上半部分. ??z?222222z?x?y,其中为锥面介于平面z?0与z?1之间的(x?y?z)dS???????ezx2?y2dxdy,其中?是锥面z?x2?y2夹在平面z?1和z?2之间部
(9)计算I?333其中?为以点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)xdydz?ydzdx?zdxdy,???为顶点的三角形的上侧.
x?a,y?at,z?9求曲线?:
-------------
12at(0?t?1,的质量,设其线密度为??a?0)22z. a