发布时间 : 星期六 文章北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 (含答案)更新完毕开始阅读
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.已知函数f?x??cosx?3sinxcosx?21. 2（Ⅰ）求函数f?x?的单调递增区间；
（Ⅱ）若f?x?在区间?0,m?上的最大值为1，求m的最小值. 【答案】（Ⅰ）?k??【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数y?f?x?的解析式变形为
???3,k????6??k?Z??；（Ⅱ）. ?6??????f?x??sin?2x??，然后解不等式??2k??2x???2k??k?Z?，即可得出
6?262?函数y?f?x?的单调递增区间；
???????2x??,2m?x?0,m2m??，（Ⅱ）由，结合题意得出即可求出实数m??，6?6?6?62?的最小值.
【详解】（Ⅰ）f?x??1?cos2x3131??? ?sin2x??sin2x?cos2x?sin?2x??，
222226????因为y?sinx的单调递增区间为?2k???2,2k????2???k?Z?，
令2x????????????2k??,2k????k?Z?，得x??k??,k????k?Z?. 6?22?36??????k??,k??y?fx?k?Z?； 所以函数??的单调递增区间为??36??（Ⅱ）因为x??0,m?，所以2x????????,2m??. 6?66????fx?sin2x?x?0,m又因为??，????的最大值为1，
6??13
所以2m??6??2，解得m??6，所以m的最小值为
?. 6【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.
18.如图，在三棱锥V?ABC中，平面VAC?平面ABC，?ABC和?VAC均是等腰直角三角形，AB?BC，AC?CV?2，M、N分别为VA、VB的中点.
（Ⅰ）求证：AB//平面CMN； （Ⅱ）求证：AB?VC；
（Ⅲ）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）由中位线的性质得出MN//AB，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出AB//平面CMN；
（Ⅱ）由已知条件可知VC?AC，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC?平面
22. 3ABC，即可得出AB?VC；
（Ⅲ）以C为原点，CA、CV所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB与平面CMN所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）在?VAB中，M、N分别为VA、VB的中点，所以MN为中位线，所以
MN//AB.
又因为AB?平面CMN，MN?平面CMN，所以AB//平面CMN； （Ⅱ）在等腰直角三角形?VAC中，AC?CV，所以VC?AC.
因为平面VAC?平面ABC，平面VACI平面ABC?AC， VC?平面VAC， 所以VC?平面ABC.
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又因为ABì平面ABC，所以AB?VC；
（Ⅲ）在平面ABC内过点C作CH垂直于AC，由（Ⅱ）知，VC?平面ABC， 因为CH?平面ABC，所以VC?CH. 如图，以C原点建立空间直角坐标系C?xyz.
?11?NC0,0,0V0,0,2B1,1,0M1,0,1则??，??，??，??，?2,2,1?. ??uuur?11?uuruuuurVB??1,1,?2?，CM??1,0,1?，CN??,,1?.
?22?uuuuv?x?z?0r?n?CM?0?v设平面CMN的法向量为n??x,y,z?，则?uuu，即?1. 1x?y?z?0n?CN?0??2?2r令x?1则y?1，z??1，所以n=(1,1,-1).
ruurn?VBruur22r?直线VB与平面CMN所成角大小为?，sin??cosn,VB?ruu.
3n?VB所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为
22. 3【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19.某市《城市总体规划（2016?2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6:1）、良好小区（指数为0.4:0.6）、中等小区（指数为0.2:0.4）以及待改进小区（指数为0:0.2）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：
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?w2T2?w3T3?w4T4，其中w1、w2、w3、注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T?wT11w4为该小区四个方面的权重，T1、T2、T3、T4为该小区四个方面的指标值（小区每一个
方面的指标值为0~1之间的一个数值）.
现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 频数
（Ⅰ）分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为?，求?的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）A、C小区不是优质小区；B小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望【解析】 【分析】
（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；
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?0,0.2? 10 ?0.2,0.4? 20 ?0.4,0.6? 30 ?0.6,0.8? 30 ?0.8,1? 10 4. 5